Problemas de división: qué hacer con el resto
Veintiséis niños van de excursión en coches de cuatro plazas. La cuenta es 26 : 4 = 6, resto 2, y casi todos los niños la hacen bien. Pero la respuesta no es 6 coches: con 6 coches se quedan 2 niños en tierra. En los problemas de división, lo difícil empieza cuando la cuenta ya está hecha.
La cuenta está bien y la respuesta, mal
Este fenómeno está muy estudiado. Los problemas de división con resto ya salieron como especialmente difíciles en la evaluación nacional de Estados Unidos de 1983, y el ejemplo clásico es este: un autobús lleva 36 soldados, hay que trasladar a 1.128, ¿cuántos autobuses hacen falta? La división da 31 y sobran 12. La respuesta correcta es 32 autobuses, porque los 12 soldados del resto también tienen que viajar. Muchos alumnos hacen bien la cuenta y contestan 31,3 autobuses.
En España lo estudió un equipo de la Universidad Complutense con alumnos de 1.º de ESO, en un trabajo titulado precisamente «Me sobran cuatro y no sé qué hacer con ellos» (Lago y otros, Anales de Psicología, 2008). Casi todos los alumnos elegían bien la división; los fallos estaban en entender qué pedía el problema y qué hacer con el resultado. Y su conclusión es útil para casa: la dificultad principal no está en la cuenta sino en la representación inicial del problema, en cómo se lo imagina el niño antes de calcular.
Los cuatro destinos del resto
Con los mismos números, 26 : 4 = 6 resto 2, la respuesta cambia según la pregunta. Estos son los cuatro casos que se encuentran en los problemas de Primaria:
| Qué se pregunta | Ejemplo | Respuesta |
|---|---|---|
| Grupos completos: el resto se ignora | Con 26 cromos, ¿cuántos sobres de 4 puedo llenar? | 6 sobres |
| Que quepan todos: se suma uno | 26 niños en coches de 4, ¿cuántos coches hacen falta? | 7 coches |
| Lo que sobra: el resto es la respuesta | Reparto 26 canicas entre 4, ¿cuántas me quedan? | 2 canicas |
| Se puede partir: el resto se sigue repartiendo | 26 € entre 4 hermanos, ¿cuánto recibe cada uno? | 6,50 € |
La misma cuenta, cuatro respuestas distintas. Por eso tiene poco sentido que un niño conteste un problema escribiendo «6, resto 2»: eso es el resultado de la cuenta, no la respuesta a la pregunta. Si quieres repasar qué es exactamente el resto, lo tienes en qué es una división con resto.
Errores comunes en los problemas de división
1. Contestar con la cuenta. «Hacen falta 6 resto 2 coches.» El niño ha copiado el resultado tal cual. Pídele siempre que conteste con una frase completa y una unidad: «Hacen falta 7 coches.» Al escribir la frase, muchos se dan cuenta solos.
2. Medio coche. Si ya conoce los decimales, puede contestar 6,5 coches. La cuenta 26 : 4 = 6,5 es correcta, pero los coches no se parten. La pregunta que le ayuda: «¿esto se puede cortar?». Euros y metros, sí. Niños, coches y sobres, no.
3. Olvidar a los que sobran. Es el error de los soldados: contestar 6 coches porque es lo que dice el cociente. El remedio es dibujar. Siete rectángulos con cuatro círculos cada uno, y que el niño ponga los 26 niños. Cuando ve el séptimo coche con dos niños dentro, ya no lo olvida.
4. Elegir la operación por las palabras. Algunos niños dividen cuando ven «repartir» o «cada», y multiplican cuando ven «en total». Funciona hasta que no funciona: «Cada caja lleva 4 botes, ¿cuántos botes hay en 26 cajas?» tiene la palabra «cada» y es una multiplicación. La solución es la misma que antes: imaginar la situación antes de buscar la operación.
5. Confundir repartir y agrupar. En «26 niños en 4 coches» se busca cuántos niños van en cada coche; en «26 niños en coches de 4», cuántos coches hacen falta. La cuenta es la misma, pero la respuesta habla de cosas distintas. El estudio de la Complutense encontró que los problemas de reparto se resolvían mejor que los de agrupar, así que conviene practicar estos últimos un poco más. Lo explicamos con caramelos en cómo enseñar a dividir.
Tablas de dividir con estrellas
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Una rutina de tres preguntas
Antes de empezar cualquier problema de división, tres preguntas en voz alta. Al principio las haces tú; con el tiempo, tu hijo se las hace solo.
- ¿Qué se reparte y entre qué? 26 niños entre coches. Aquí se decide qué número va dentro de la caja.
- ¿Qué me preguntan exactamente? ¿Coches llenos, coches necesarios, niños que sobran, dinero para cada uno? Subrayar la pregunta del enunciado ayuda.
- ¿Mi respuesta tiene sentido? Leer la frase final y comprobarla con la historia: 7 coches de 4 son 28 plazas, caben los 26. Con 6 serían 24 plazas, no caben.
La tercera pregunta es la que más cuesta convertir en costumbre, porque cuando la cuenta ha salido el niño siente que ha terminado. Un truco: en casa, no corrijas tú. Pregunta «¿y cuántos niños se han quedado sin coche?» y deja que él descubra los 2 niños en tierra.
Problemas para practicar esta semana
Estos seis tienen la misma cuenta, 38 : 5 = 7 resto 3, y respuestas distintas. Pide a tu hijo que haga la cuenta una sola vez y luego conteste cada pregunta con una frase.
- Valeria tiene 38 fotos y un álbum con 5 fotos por página. ¿Cuántas páginas llena del todo? (7)
- ¿Cuántas páginas necesita para pegar todas las fotos? (8)
- ¿Cuántas fotos van en la última página? (3)
- 38 alumnos hacen equipos de 5. ¿Cuántos alumnos se quedan sin equipo completo? (3)
- Cinco amigos se reparten 38 € a partes iguales. ¿Cuánto recibe cada uno? (7,60 €)
- Una cuerda de 38 m se corta en 5 trozos iguales. ¿Cuánto mide cada trozo? (7,6 m)
Los dos últimos solo si ya trabaja los decimales en clase. Para que la cuenta no le robe atención a la pregunta, conviene que las tablas de dividir estén frescas: 38 : 5 debería salir de cabeza. Y para inventar problemas propios con otros números, las divisiones de una cifra dan para mucho.
Mañana, en el coche o en la cola del súper, inventa uno con lo que tengáis delante: si somos 5 y hay 12 croquetas, ¿cuántas tocan? ¿Y qué hacemos con las que sobran? Ese «¿qué hacemos?» es todo el secreto.
Preguntas frecuentes
¿Cómo sé si un problema es de división o de multiplicación?
Mira qué se conoce y qué se busca. Si conoces el total y quieres saber cuánto hay en cada grupo o cuántos grupos salen, es una división. Si conoces los grupos y lo que hay en cada uno y buscas el total, es una multiplicación. Las palabras clave engañan; la situación, no.
¿En qué curso aparecen los problemas de división con resto?
Depende del libro, pero suelen aparecer en 3.º junto con las primeras divisiones con resto, y se complican en 4.º y 5.º con números más grandes y con decimales. El Real Decreto 157/2022 incluye la división como reparto y partición en el segundo ciclo, es decir, en 3.º y 4.º.
¿Le dejo hacer dibujos para resolver los problemas?
Sí, sin dudarlo. Un dibujo rápido de coches, cajas o platos es la mejor forma de construir esa representación inicial que tanto cuesta. Cuando los números crecen, el dibujo se vuelve esquemático y acaba desapareciendo solo.