La tabla pitagórica en clase: patrones, conmutativa y división

Qué es la tabla pitagórica

Es una cuadrícula con los números del 1 al 10 (o al 12) en la primera fila y en la primera columna. En cada casilla está el producto de su fila por su columna. La casilla de la fila 6 y la columna 8 contiene 48. Las diez tablas de multiplicar caben en un solo cuadro de 100 casillas.

Antes de usarla para consultar, conviene que el alumnado la construya. Una tabla vacía en la que cada uno rellena las filas que ya conoce (la del 1, la del 2, la del 5, la del 10) deja ver enseguida cuántas casillas quedan y, más importante, que muchas ya están rellenas en otra fila.

La diagonal de los cuadrados

Pide que marquen las casillas donde fila y columna coinciden: 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3... Salen 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100. Son los números cuadrados, y se llaman así porque se pueden dibujar como un cuadrado de puntos: 16 son 4 filas de 4.

La segunda pregunta es la buena: ¿cuánto hay de uno al siguiente? De 1 a 4 hay 3; de 4 a 9, 5; de 9 a 16, 7; luego 9, 11, 13... Los saltos son los números impares en orden. En 4.º, con cuadrados de puntos dibujados en papel, se ve por qué: para pasar de un cuadrado de 3 × 3 a uno de 4 × 4 hay que añadir una fila de 3, una columna de 3 y la esquina, 3 + 3 + 1 = 7.

La simetría que demuestra la conmutativa

Imprime la tabla pitagórica y pide al alumnado que la doble por la diagonal. Cada número cae encima de su gemelo: el 48 de la fila 6 sobre el 48 de la fila 8. La mitad de arriba es un espejo de la de abajo. Esa simetría es la propiedad conmutativa hecha dibujo: 6 × 8 y 8 × 6 ocupan casillas reflejadas.

La consecuencia práctica es la que más motiva: de las 100 casillas, solo 55 son distintas (las 45 de un lado de la diagonal más las 10 de la diagonal). Que lo cuenten ellos. Cuando un alumno ve que tiene que aprender 55 resultados y no 100, la tabla parece otra.

Otros patrones para buscar en la tabla pitagórica

El Real Decreto 157/2022 incluye entre los saberes del segundo ciclo la identificación, descripción verbal y predicción razonada de regularidades en una colección de números. La tabla pitagórica es el material ideal para eso. Algunas preguntas que funcionan en 3.º y 4.º:

• Columna del 9. 9, 18, 27, 36... ¿Qué pasa con las decenas y con las unidades? (Las decenas suben una y las unidades bajan una; las cifras suman 9.)
• Filas dobles. Compara la fila del 4 con la del 2, y la del 8 con la del 4. ¿Qué ves? Cada una es el doble de la otra. ¿Pasa también con la del 6 y la del 3?
• Pares e impares. Colorea los resultados impares. Solo aparecen donde se cruzan una fila impar y una columna impar: 25 casillas de 100. ¿Por qué?
• Números repetidos. ¿Cuántas veces aparece el 12? (Cuatro: 2 × 6, 3 × 4, 4 × 3 y 6 × 2.) ¿Y el 36? (Tres veces.)
• Números que no están. ¿Aparece el 11? ¿El 13? ¿El 23? ¿Qué tienen en común los números que no salen nunca?

La clave didáctica es que el patrón lo formule el alumnado antes de que lo digas tú. Pide primero la predicción («¿qué número vendrá después del 45 en la columna del 9?») y luego la comprobación.

Leer la tabla al revés: la división

La misma tabla sirve para dividir. Para 56 : 8 se busca la fila del 8, se recorre hasta encontrar el 56 y se sube a la cabecera de esa columna: 7. Para 54 : 6, fila del 6, casilla 54, columna 9. El Real Decreto pide trabajar en el segundo ciclo las relaciones entre la multiplicación y la división, y aquí se ven sin explicarlas: la división es la tabla de multiplicar leída en otro sentido.

Un ejercicio que funciona bien por parejas: uno dice una casilla («fila 7, resultado 63») y el otro tiene que decir la columna. Después se pasa a enunciarlo como división: 63 : 7 = 9. De ahí al trabajo con las tablas de dividir hay un paso muy corto.

Que no se quede en chuleta

El riesgo de la tabla pitagórica es que el alumnado la use para no memorizar nunca. Para evitarlo, retírala poco a poco. Una tabla con casillas tapadas con pósits que se van quitando a medida que el grupo las domina. Una tabla incompleta que tienen que rellenar de memoria. Una tabla con errores escondidos que hay que encontrar.

Al final la tabla pitagórica tiene que estar en la cabeza, no en la pared. Para comprobar si ya está, el mejor termómetro es preguntar salteado, como explicamos en tablas de multiplicar salteadas. Y si el grupo flojea en lo básico, empezad por cómo enseñar a multiplicar desde los grupos iguales. Para la próxima clase: una tabla vacía de 10 × 10 por alumno y diez minutos para rellenar solo las filas que ya conocen.