La propiedad conmutativa: la mitad de las tablas gratis

Qué es la propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa de la multiplicación dice que el orden de los factores no cambia el producto. 3 × 8 = 24 y 8 × 3 = 24. 6 × 7 = 42 y 7 × 6 = 42. Da igual cuál vaya primero. Es la misma regla que se cumple en la suma: 5 + 2 y 2 + 5 dan 7.

En los libros de matemáticas se enuncia así: el producto de dos números es el mismo independientemente del orden de los factores. Lo puedes ver con ejemplos en el capítulo de propiedades de la multiplicación de LibreTexts, que usa precisamente 6 × 7 como ejemplo. Para un adulto es tan obvio que ni lo piensa. Para un niño de 2.º o 3.º no lo es en absoluto, y conviene enseñárselo en lugar de dar por hecho que lo ve.

Cómo enseñarla: gira la cuadrícula

Decirle «es lo mismo» no convence a nadie. Hay que verlo. Coge una hoja de cuadros y colorea 3 filas de 8 cuadrados. Cuenta con tu hijo: 24. Ahora gira la hoja un cuarto de vuelta. Lo que eran 3 filas de 8 son ahora 8 filas de 3. No se ha añadido ni quitado ningún cuadrado, así que siguen siendo 24.

Hazlo también con objetos: 3 platos con 8 garbanzos y 8 platos con 3 garbanzos. Aquí la igualdad ya no salta a la vista, y hay que contar. Cuando el niño comprueba que sale lo mismo, la regla deja de ser algo que dice la maestra y pasa a ser algo que él ha comprobado.

Si tu hijo ya ha hecho sumas en 1.º, tiene una pista que le servirá: en la suma pasa lo mismo. 3 + 8 y 8 + 3 son 11, y muchos niños lo usan sin saber que tiene nombre, porque es más fácil contar 8 y añadir 3 que contar 3 y añadir 8. Recuérdaselo: «¿Te acuerdas de que en la suma podías empezar por el número grande? En la multiplicación también puedes darle la vuelta». Así la propiedad no llega como algo nuevo, sino como algo que ya usaba.

Después de dos o tres ejemplos, pregúntale: «¿Pasará con 4 × 9?». Que haga una predicción antes de contar. Cuando acierte sin contar, ha entendido la propiedad.

La cuenta: de 100 multiplicaciones a 55

Las tablas del 1 al 10 tienen 100 multiplicaciones. Pero con la propiedad conmutativa, cada pareja como 3 × 8 y 8 × 3 cuenta una sola vez. Quedan 55 multiplicaciones distintas: las 45 parejas más los 10 cuadrados, como 7 × 7, que no tienen pareja.

La última fila es la que más anima. Si tu hijo ya domina las tablas del 1, 2, 5 y 10, solo le faltan las multiplicaciones entre 3, 4, 6, 7, 8 y 9. Sin la propiedad conmutativa son 60 (6 tablas de 10 multiplicaciones); con ella, 21. Así es como la tabla del 7 se reduce a tres multiplicaciones nuevas, como contamos en cómo aprender la tabla del 7.

Mismo resultado, distinta situación

Hay un matiz que conviene decirle al niño cuando ya lo haya entendido. 3 bolsas de 8 caramelos y 8 bolsas de 3 caramelos son 24 caramelos en los dos casos, pero no son la misma situación: en una hay 3 bolsas y en la otra 8. La propiedad conmutativa habla del resultado de la cuenta, no del dibujo del problema.

Esto importa cuando empiezan los problemas. Si el enunciado dice que hay 3 bolsas, el niño tiene que dibujar 3 bolsas, aunque después calcule 8 × 3 porque le resulta más fácil. Saber separar las dos cosas evita muchos líos más adelante, cuando llega la división.

Ojo: en la resta y la división no funciona

Una vez que el niño ve que el orden da igual, tiende a aplicarlo a todo. Y en dos operaciones no vale:

• Resta: 8 − 3 = 5, pero 3 − 8 no da 5. Con números naturales ni siquiera se puede hacer en 2.º.
• División: 12 : 3 = 4, pero 3 : 12 no da 4. Repartir 12 caramelos entre 3 niños no es lo mismo que repartir 3 caramelos entre 12.

Un buen ejercicio es preguntarle directamente: «¿8 − 3 es lo mismo que 3 − 8?». Que lo piense con objetos. El niño que entiende por qué en la multiplicación sí y en la resta no, ha entendido la propiedad de verdad, no solo la regla. Y otro aviso: la conmutativa no salva al cero de sus trampas. 5 × 0 y 0 × 5 dan lo mismo, sí, pero dan 0, y muchos niños contestan 5. Lo explicamos en la tabla del cero.

Cómo usar la propiedad conmutativa al practicar

Cada vez que tu hijo acierte una multiplicación, pregúntale enseguida la girada. Acierta 3 × 8 = 24: «¿Y 8 × 3?». Al principio tardará un poco, como si tuviera que comprobarlo. Con unos días, contestará al instante, y ese es el momento en que ha dejado de aprender dos tablas.

En la tabla pitagórica la propiedad se ve de un golpe: la tabla es simétrica respecto a la diagonal, y cada número aparece reflejado al otro lado. Y si te preguntas por qué merece la pena tanto esfuerzo, lo explicamos en para qué sirven las tablas. Esta tarde, con una hoja de cuadros y un lápiz de color, haz con tu hijo la prueba de girar la cuadrícula. Son cinco minutos y no se olvida.