Reglas de divisibilidad: enseñarlas con sentido
Las reglas de divisibilidad suelen llegar en 5.º como una lista para memorizar: termina en par, suma las cifras, termina en 0 o en 5. El alumnado las aplica, las mezcla y a las dos semanas las ha olvidado. Explicar por qué funciona cada una cuesta diez minutos más, y la explicación de las del 3 y del 9 es además la misma que la de la prueba del nueve, que muchas familias aún usan en casa.
El problema de enseñarlas como recetas
Una regla sin explicación se guarda en la memoria como un dato suelto, y los datos sueltos se mezclan. Por eso aparecen respuestas como «15 es divisible entre 6 porque sus cifras suman 6», o «23 es divisible entre 3 porque termina en 3». El alumno no está siendo descuidado: está aplicando una regla real al número equivocado, porque no sabe de dónde sale ninguna de las dos.
Todas las reglas que se ven en Primaria salen de una misma pregunta: ¿qué pasa con 10, 100 y 1000 cuando los divido entre ese número? Si el alumnado entiende esa pregunta, las reglas dejan de ser una lista y pasan a ser una familia.
Las reglas de divisibilidad en una tabla
| Entre | Regla | Por qué funciona | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| 2 | La última cifra es par | 10 es múltiplo de 2, así que decenas, centenas y millares siempre lo son. Solo decide la unidad. | 3.578: termina en 8, sí |
| 5 | Termina en 0 o en 5 | 10 es múltiplo de 5. Otra vez solo decide la unidad. | 4.215: termina en 5, sí |
| 10 | Termina en 0 | Todo lo que no son unidades ya es múltiplo de 10. | 930: sí |
| 4 | Las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 | 10 no es múltiplo de 4, pero 100 = 4 × 25 sí. Deciden decenas y unidades. | 1.316: 16 es múltiplo de 4, sí |
| 3 | La suma de las cifras es múltiplo de 3 | 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1... Cada cifra deja «sobrando» su propio valor. | 7.452: 7 + 4 + 5 + 2 = 18, sí |
| 9 | La suma de las cifras es múltiplo de 9 | La misma razón que la del 3. | 7.452: 18 es múltiplo de 9, sí |
| 6 | Es divisible entre 2 y entre 3 a la vez | 6 = 2 × 3, y 2 y 3 no tienen más divisor común que el 1. | 7.452: par y suma 18, sí |
La tabla se lee mejor por columnas que por filas. La columna «por qué funciona» separa claramente dos grupos: las reglas que miran el final del número (2, 5, 10 y 4) y las que miran todas las cifras (3 y 9). El 6 combina dos reglas. Esa clasificación ya evita el error de aplicar la suma de cifras al 4 o al 6.
Por qué funcionan la del 3 y la del 9
Es la parte que casi nunca se explica y la que más sentido da. Tomemos 7.452 y escribámoslo por su valor posicional, pero partiendo cada potencia de 10 de una manera especial:
- 1000 = 999 + 1
- 100 = 99 + 1
- 10 = 9 + 1
Así, 7.452 = 7 × 999 + 4 × 99 + 5 × 9 + (7 + 4 + 5 + 2). La primera parte, 6.993 + 396 + 45, es siempre múltiplo de 9, porque 999, 99 y 9 lo son. Lo único que puede dejar resto al dividir entre 9 es lo que queda al final: la suma de las cifras, 18. Como 18 es múltiplo de 9, todo el número lo es. Y como todo múltiplo de 9 es también múltiplo de 3, la misma cuenta sirve para el 3.
Esta demostración, con la notación de la aritmética modular, la explican Ana Rechtman y Carlos Jacob Rubio en «Divisibilidad y congruencias», un artículo de la revista Tzaloa de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Para 5.º no hace falta la notación: basta con los bloques multibase. Si cambias una barra de decena por diez cubitos, puedes hacer un grupo de nueve y te sobra uno. Cada barra deja un cubito suelto; cada placa de centena, también uno. Lo que sobra al final es justo la suma de las cifras.
Las tablas de dividir, sin dudar
Los criterios ahorran divisiones, pero no todas. Tu clase puede practicar las tablas de dividir del 1 al 12 con estrellas, y tú ves el progreso de cada alumno.
La misma idea que la prueba del nueve
Muchos padres y abuelos aprendieron a comprobar multiplicaciones con la prueba del nueve. Funciona por lo mismo: la suma de las cifras de un número deja el mismo resto al dividir entre 9 que el propio número. Y ese resto se conserva al multiplicar.
Con 34 × 26 = 884: las cifras de 34 suman 7 y las de 26 suman 8. 7 × 8 = 56, y 5 + 6 = 11, y 1 + 1 = 2. Las cifras de 884 suman 20, y 2 + 0 = 2. Coinciden, así que la prueba se da por buena.
Pero aquí está la lección para el aula: si el alumno hubiera escrito 848, las cifras también sumarían 20. La prueba del nueve no detecta cifras cambiadas de orden, porque la suma no depende del orden. Es el mismo motivo por el que 7.452 y 2.745 son los dos divisibles entre 9. Enseñar el criterio del 9 y la prueba del nueve juntos permite que el alumnado vea las dos caras: una herramienta útil y su límite, explicados por la misma razón.
Si en tu colegio se usa la prueba de la división en lugar de la del nueve, la comparación también funciona; la explicamos en la prueba de la división.
Una secuencia de cuatro sesiones
Una propuesta que respeta la tabla anterior, de lo más visible a lo más abstracto:
- Sesión 1: 2, 5 y 10. Con la tabla de valor posicional: ¿por qué solo importa la última cifra? El alumnado lo descubre si le pides que divida 10, 100 y 1000 entre 2 y entre 5.
- Sesión 2: 3 y 9. Con bloques multibase y la descomposición 10 = 9 + 1. Que cada grupo invente un número de cuatro cifras divisible entre 9 y lo compruebe dividiendo.
- Sesión 3: 4 y 6. El 4 como «el que necesita dos cifras» y el 6 como combinación. Aquí conviene trabajar a propósito los contraejemplos: 15, 21 y 33 suman múltiplos de 3 pero no son divisibles entre 6.
- Sesión 4: aplicación. Reconocer números primos de dos cifras y buscar divisores para simplificar fracciones. Si hay tiempo, la prueba del nueve y su trampa.
El Real Decreto 157/2022 incluye en el tercer ciclo la «relación de divisibilidad: múltiplos y divisores» y la aplicación de las relaciones del sistema de numeración de base diez en las operaciones. Los criterios, explicados así, trabajan las dos cosas a la vez.
Errores que conviene provocar en clase
Mejor que esperar a que aparezcan es ponerlos sobre la mesa y discutirlos:
- «23 termina en 3, así que es divisible entre 3.» Se desmonta con 13, 23 y 43. La del 3 no mira la última cifra.
- «Las cifras de 15 suman 6, así que es divisible entre 6.» La suma de cifras solo sirve para el 3 y el 9.
- «1.316 no es divisible entre 4 porque 6 no lo es.» Para el 4 hay que mirar 16, no 6.
- «Si es divisible entre 3, es divisible entre 9.» Al revés sí; así no. 12 es múltiplo de 3 y no de 9.
Una pregunta para cerrar mañana la sesión: ¿por qué no hay regla del 7 tan cómoda como la del 3? Porque 10, 100 y 1000 dejan restos distintos al dividir entre 7 (3, 2 y 6). Que el alumnado lo compruebe es la mejor señal de que ha entendido de dónde salen todas las demás.
Preguntas frecuentes
¿Existe una regla de divisibilidad del 7?
Sí, pero es poco práctica en Primaria: se quita la última cifra, se resta su doble a lo que queda y se mira si el resultado es múltiplo de 7. Con 343: 34 − 6 = 28, que sí lo es. Suele costar más que hacer la división.
¿Y la regla del 11?
Se suman y restan las cifras de forma alterna; si el resultado es 0 o múltiplo de 11, el número también lo es. Con 2.574: 2 − 5 + 7 − 4 = 0, y en efecto 2.574 = 11 × 234. Es un buen reto para el alumnado que va rápido.
¿En qué curso se enseñan los criterios de divisibilidad?
Normalmente en 5.º, junto con múltiplos y divisores, y se repasan en 6.º con los números primos y la descomposición en factores. El Real Decreto 157/2022 sitúa la divisibilidad en el tercer ciclo; cada libro decide qué criterios incluye.