Números primos: cómo reconocerlos sin una lista
En 5.º y 6.º muchos niños intentan aprenderse de memoria la lista de los números primos hasta el 100, y se atascan con el 51, el 87 o el 91. No hace falta. Para saber si un número de dos cifras es primo basta con probar cuatro divisiones: entre 2, entre 3, entre 5 y entre 7. Con eso y dos ideas claras sobre el 1 y el 2, tu hijo puede decidir solo.
Qué es un número primo
Un número primo es el que tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo. El 7 es primo porque solo se puede dividir de forma exacta entre 1 y entre 7. El 12 no lo es: se puede dividir entre 1, 2, 3, 4, 6 y 12. A los números que tienen más de dos divisores se les llama compuestos.
Hay una forma más visual de explicarlo con objetos. Con 12 garbanzos puedes formar un rectángulo de 3 filas de 4, o de 2 filas de 6. Con 7 garbanzos no hay manera: solo sale una fila de 7. Los primos son los números que no se dejan colocar en rectángulo.
Si a tu hijo la palabra divisor todavía le baila, empieza por múltiplos y divisores. Todo lo que sigue se apoya en saber buscar divisores.
El 1 no es primo, y el 2 es el único par
Estas dos ideas resuelven la mitad de las dudas de examen.
El 1 no es primo. Tiene un solo divisor, el propio 1, y para ser primo hacen falta exactamente dos. Muchos niños lo meten en la lista porque «solo se divide entre 1 y entre sí mismo», que en su caso es el mismo número. La ficha del proyecto cREAgal de la Xunta de Galicia lo deja claro desde el primer paso de la criba de Eratóstenes: el 1 se tacha directamente, porque no es primo.
El 2 es primo, y es el único primo par. Sus divisores son 1 y 2, así que cumple la definición. Pero cualquier otro número par se puede dividir entre 2, de modo que ya tiene al menos tres divisores: el 1, el 2 y él mismo. Por eso, a partir del 2, todos los primos son impares.
Ojo con darle la vuelta: que todos los primos mayores que 2 sean impares no significa que todos los impares sean primos. 9, 15, 21, 25 y 27 son impares y no son primos.
Números primos de dos cifras: basta con cuatro divisiones
Esta es la herramienta que de verdad le sirve a tu hijo. Para saber si un número menor que 100 es primo, prueba a dividirlo entre 2, entre 3, entre 5 y entre 7. Si ninguna división es exacta, es primo.
¿Por qué solo esos cuatro? Si un número de dos cifras se puede partir en una multiplicación, uno de los dos factores tiene que ser menor que 10. Los dos no pueden ser 10 o más, porque 10 × 10 ya es 100. Y cualquier número menor que 10 que no sea primo (el 4, el 6, el 8, el 9) se reduce a 2 o a 3. Así que, si el número tiene algún divisor, el 2, el 3, el 5 o el 7 lo encuentran.
Veámoslo con 91, que tiene toda la pinta de ser primo:
- Entre 2: no, es impar.
- Entre 3: no, sus cifras suman 9 + 1 = 10, que no es múltiplo de 3.
- Entre 5: no, no termina en 0 ni en 5.
- Entre 7: sí. 91 = 7 × 13.
91 no es primo. En cambio, con 97 ninguna de las cuatro divisiones es exacta, así que 97 es primo. Para las tres primeras pruebas ni siquiera hay que dividir: las reglas de divisibilidad lo dicen mirando las cifras. Solo el 7 obliga a hacer la cuenta, y para eso basta con saberse bien la tabla de dividir del 7.
Las tablas de dividir, al día
Para probar si un número es primo hay que dividir rápido. Practica las tablas de dividir del 1 al 12 con estrellas y diploma.
Los que más engañan
Hay números que parecen primos y no lo son. Casi siempre esconden un 3 o un 7. Estos son los que más fallos dan:
| Número | Parece primo porque... | Pero en realidad |
|---|---|---|
| 51 | es impar y no termina en 5 | 51 = 3 × 17 |
| 57 | es impar y no termina en 5 | 57 = 3 × 19 |
| 87 | no está en ninguna tabla conocida | 87 = 3 × 29 |
| 91 | no está en ninguna tabla conocida | 91 = 7 × 13 |
| 49 | es impar | 49 = 7 × 7 |
Fíjate en que los tres primeros se descubren con la regla del 3: 5 + 1 = 6, 5 + 7 = 12 y 8 + 7 = 15, y los tres resultados son múltiplos de 3. Si tu hijo aplica la suma de cifras de forma automática, ninguno de ellos le engañará.
La criba: ver todos los primos hasta 100 de una vez
Si quieres que tu hijo vea todos los primos menores que 100 sin aprenderlos de memoria, la criba de Eratóstenes es la actividad ideal. Se escribe una tabla del 1 al 100, se tacha el 1, y luego se van tachando los múltiplos del 2 (sin tachar el 2), los del 3, los del 5 y los del 7. Lo que queda sin tachar son los primos.
Son 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
Lo interesante es lo que tu hijo verá al hacerlo: después de tachar los múltiplos del 7, ya no queda nada más que tachar. La ficha de la Xunta propone seguir con el 11, pero el primer múltiplo del 11 que no se ha tachado antes sería 11 × 11 = 121, que ya se sale de la tabla. Es la misma razón por la que bastan cuatro divisiones.
Para qué le van a servir
En Primaria, los primos sirven sobre todo para descomponer números en factores: 24 = 2 × 2 × 2 × 3. Esa descomposición es la base de un método para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en 6.º.
Pero el uso más inmediato es otro: saber cuándo una fracción ya no se puede simplificar. Si el numerador o el denominador es primo y no divide al otro, la fracción está terminada. 7/12 no se puede tocar.
Para mañana, un reto corto: dale cinco números (39, 41, 63, 71 y 77) y que te diga cuáles son primos usando solo las cuatro pruebas. Solución: 41 y 71 son primos; 39 = 3 × 13, 63 = 7 × 9 y 77 = 7 × 11 no lo son.
Preguntas frecuentes
¿El 0 es un número primo?
No. El 0 se puede dividir entre cualquier número distinto de cero (0 : 5 = 0, 0 : 8 = 0), así que tiene muchísimos divisores, no solo dos. Por eso tampoco aparece en la criba: se deja fuera desde el principio.
¿Cuántos números primos hay?
Infinitos. Por grande que sea un número primo, siempre hay otro mayor. Lo demostró Euclides hace más de dos mil años. Eso sí, cuanto más grandes son los números, más separados suelen estar los primos entre sí.
¿Tiene que saberse de memoria los primos hasta el 100?
Depende de lo que pida su profesor. Lo útil es reconocer al instante los primos hasta el 20 o el 30 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) y, para los demás, saber aplicar las pruebas del 2, el 3, el 5 y el 7. Con eso no necesita la lista.
¿Y si el número tiene tres cifras?
La idea es la misma, pero hay que probar con más primos. Para un número menor que 400 basta con dividir entre los primos hasta el 19, porque 19 × 19 = 361 y 23 × 23 = 529. En Primaria casi nunca se pide, así que no hace falta adelantarlo.