Fracciones propias e impropias: compararlas con la unidad

Qué son las fracciones propias e impropias

Una fracción tiene dos números. El de abajo, el denominador, dice en cuántas partes iguales se ha partido la unidad. El de arriba, el numerador, dice cuántas de esas partes tenemos. En 3/4 hemos partido algo en cuatro y nos quedamos con tres.

Ahora la pregunta clave: ¿tenemos menos de una unidad entera, una justa o más de una?

• Fracción propia: el numerador es menor que el denominador. Es menos que una unidad. 3/4, 2/5, 7/10.
• Fracción impropia: el numerador es mayor que el denominador (o igual, según el libro; lo vemos más abajo). Es más que una unidad. 7/4, 9/5, 13/10.

Esas son las definiciones que da, por ejemplo, el manual abierto Fundamentos de Matemáticas de Burzynski y Ellis: propia si el numerador es estrictamente menor que el denominador, impropia si es mayor o igual.

Fíjate en que no hace falta calcular nada. Basta con mirar cuál de los dos números es más grande. Eso es lo bonito de este tema: es de los pocos en fracciones donde un niño de 4.º puede acertar siempre con una sola comparación.

La tabla: menor, igual o mayor que la unidad

Esta tabla resume todo el tema. Las tres columnas de la derecha son lo que tu hijo debería poder decir de cualquier fracción:

La última fila es la que más sorprende: 8/4 es impropia y además es un número entero. Ocho cuartos son dos unidades completas. No todas las impropias tienen «trozos sueltos».

Y la fila de 11/12 merece un comentario. Que una fracción sea propia no significa que sea pequeña. 11/12 es casi una unidad entera. Lo que dice la palabra «propia» es solo que no llega al 1.

Las fracciones iguales a la unidad: ¿propias o impropias?

Aquí los libros no se ponen de acuerdo, y conviene saberlo para no discutir con los deberes de tu hijo. Hay dos maneras de contarlo:

• Dos grupos. Propias (numerador menor) e impropias (numerador mayor o igual). En este caso 4/4 es impropia. Es la definición de muchos manuales de matemáticas, como el de Burzynski y Ellis citado arriba.
• Tres grupos. Menores que la unidad (propias), iguales a la unidad, y mayores que la unidad (impropias). Bastantes libros de texto de Primaria lo presentan así, con las iguales a la unidad como un grupo aparte.

Ninguna de las dos es un error. Lo que importa es que tu hijo sepa que 4/4, 6/6 y 10/10 valen exactamente 1, y que use la clasificación de su libro en los exámenes. Si en el libro hay tres grupos, en el examen hay tres grupos.

Lo que sí conviene evitar es el error contrario: pensar que 4/4 «es menos que 1 porque es una fracción». Ocurre más de lo que parece. Los niños han visto fracciones siempre como trozos de algo, y les cuesta aceptar que una fracción puede ser la pizza entera.

Una fracción impropia no está mal escrita

Vuelve a la pregunta del principio: si la pizza tiene cuatro trozos, ¿cómo vas a tener siete? La respuesta es que no hay una sola pizza. Hay dos pizzas cortadas en cuartos. Coges los cuatro trozos de la primera y tres de la segunda. Eso son siete cuartos: 7/4.

El denominador no dice cuántos trozos hay en total sobre la mesa, sino de qué tamaño es cada trozo. Un cuarto es un cuarto de pizza, y puedes tener tantos cuartos como quieras. Siete cuartos de pizza es tan razonable como siete cuartos de hora.

Pedro Ramos, profesor de matemáticas para futuros maestros en la Universidad de Alcalá, lo señala en sus apuntes del Grado de Educación Primaria: si la fracción se ha trabajado solo como «parte de un todo», la fracción impropia obliga a generalizar, y un niño se pregunta con razón qué significa «ocho séptimos de algo». Los mismos apuntes proponen la recta numérica como salida, porque ahí las impropias dejan de ser un problema: son puntos que están después del 1.

Si tu hijo trabaja con la recta en clase, te puede interesar fracciones en la recta numérica. Si no, basta con la pizza doble.

Cuánto le falta o cuánto le sobra para llegar a 1

Saber si una fracción es propia o impropia es el primer paso. El segundo, que es el que de verdad sirve más adelante, es saber a qué distancia está del 1. Para eso se compara con la fracción que vale 1 y tiene el mismo denominador:

• 3/4 frente a 4/4: le falta 1/4 para la unidad.
• 7/4 frente a 4/4: le sobran 3/4. Es una unidad y tres cuartos.
• 5/8 frente a 8/8: le faltan 3/8.
• 13/10 frente a 10/10: le sobran 3/10.

Ese «le sobran 3/4» es exactamente lo que se escribe como número mixto: 7/4 = 1 3/4. Por eso decimos que comparar con la unidad es el primer paso para pasar a número mixto. Cuando la fracción es más grande, como 11/4, se compara con 8/4 (dos unidades): sobran 3/4, y queda 2 3/4. El procedimiento completo, que es una división con resto, está en pasar fracciones impropias a mixtas.

Pregunta a tu hijo «¿cuánto le falta para 1?» cada vez que salga una fracción propia. Es una pregunta corta que obliga a pensar en la fracción como cantidad y no como dos números sueltos.

El 1 como frontera para comparar fracciones

Hay un uso de todo esto que casi nadie enseña en casa y que ahorra muchas cuentas. ¿Qué es mayor, 5/6 o 7/6? Antes de buscar denominadores comunes, pregunta de qué lado del 1 está cada una. 5/6 es propia, así que es menos que 1. 7/6 es impropia, así que es más que 1. Ya está: 7/6 es mayor, sin calcular nada.

Funciona incluso cuando los números no se parecen. ¿9/10 o 10/9? La primera no llega a 1 y la segunda lo pasa. ¿13/12 o 4/5? La impropia gana siempre a la propia. El 1 hace de frontera, y cualquier fracción de un lado es mayor que cualquiera del otro.

Solo cuando las dos están del mismo lado hace falta pensar más. Y aun así el 1 ayuda: entre 7/8 y 5/6, a la primera le falta 1/8 para llegar a 1 y a la segunda 1/6. Como un octavo es más pequeño que un sexto, a 7/8 le falta menos, y por eso es la mayor. Esta idea de mirar cuánto falta usa lo mismo que se explica en comparar fracciones unitarias: con el mismo numerador, el denominador más grande da el trozo más pequeño.

Es una buena manera de comprobar si tu hijo ha entendido el tema de verdad. Dale dos fracciones, una a cada lado del 1, y mira si se pone a hacer cuentas o si ve la respuesta directamente.

Por qué en el colegio llegan en dos tiempos

Si te parece que tu hijo vio fracciones en 3.º y no le explicaron nada de esto, no es un despiste del colegio. El Real Decreto 157/2022, que fija las enseñanzas mínimas de Primaria, recoge para el segundo ciclo (3.º y 4.º) las «fracciones propias con denominador hasta 12 en contextos de la vida cotidiana». Solo propias. En el tercer ciclo (5.º y 6.º) ya habla de fracciones y decimales para expresar cantidades, sin esa limitación.

Así que el orden más habitual es este: primero, durante uno o dos cursos, fracciones menores que la unidad. Después, de golpe, fracciones mayores que la unidad, números mixtos y operaciones. Ese salto es el que sorprende a muchos niños, y por eso vale la pena hablar de impropias en casa antes de que lleguen en el libro.

Errores frecuentes con las fracciones propias e impropias

• Mirar solo el numerador. «7/12 es impropia porque 7 es grande.» No: 7 es menor que 12, así que es propia. Siempre se comparan los dos números.
• Creer que las impropias hay que corregirlas. Muchos niños convierten cualquier impropia a número mixto aunque nadie se lo pida. En 5.º y 6.º, y más aún en la ESO, muchas veces se deja como impropia porque es más cómoda para multiplicar.
• Pensar que propia significa pequeña. 11/12 es propia y casi vale 1; 5/4 es impropia y vale solo un poco más. Entre las dos hay muy poca distancia.
• Olvidar las que valen un número entero. 6/3, 10/5 y 12/4 son impropias y valen 2, 2 y 3. Que no tengan trozos sueltos no las hace propias.

Ejemplos de casa y una actividad para esta semana

Las fracciones impropias aparecen más de lo que parece, solo que no se suelen escribir con barra:

• La hora. Una hora y media son tres medias horas: 3/2 de hora. Cinco cuartos de hora son una hora y cuarto.
• Una botella de litro y medio. 1 1/2 litros son 3/2 de litro, es decir, tres botellas de medio litro.
• Las recetas. Si una receta lleva 3/4 de taza de leche y haces el doble, necesitas 6/4 de taza: una taza y media.
• Las porciones. Tres pizzas cortadas en 8 son 24/8. Si en una fiesta se comen 19 trozos, se han comido 19/8 de pizza: dos pizzas y tres octavos.

Hay más ideas de este tipo, para hacer en la cocina, en fracciones en la vida cotidiana.

Recorta tiras de papel iguales y divídelas en cuartos. Dale a tu hijo varias tarjetas con fracciones de cuartos: 1/4, 3/4, 4/4, 5/4, 7/4, 8/4. Para cada tarjeta tiene que construir la fracción con tiras y decir si es menor, igual o mayor que una tira entera. Con 7/4 necesitará una tira completa y tres cuartos de otra, y eso le enseña más que cualquier definición.

Cuando lo haga sin las tiras, pasa a otros denominadores: quintos, sextos, décimos. Y al final, la pregunta que lo resume todo: «inventa una fracción impropia que sea casi igual a 1». Si te contesta algo como 11/10, ha entendido el tema entero.

Para seguir con papel, las fichas de fracciones incluyen hojas de sacar los enteros con su solucionario, y en la web puedes practicar sumas con resultado mayor que 1, que es donde las impropias aparecen solas.