Dividir fracciones: cuántas mitades caben
La división de fracciones es la operación que más niños hacen bien sin saber qué están haciendo. Se aprenden los productos cruzados o la inversa, aplican la regla y el resultado sale. Hasta que un problema no dice "divide" y no saben que tienen que dividir. Hay una pregunta que lo cambia todo: ¿cuántas veces cabe?
Tres reglas para dividir fracciones que dan lo mismo
Si buscas en libros o en internet, encontrarás tres formas de dividir 2/3 : 4/5. Todas dan bien.
| Método | Cómo se hace | Resultado |
|---|---|---|
| Productos cruzados | Numerador de la primera por denominador de la segunda, y al revés: (2 × 5)/(3 × 4) | 10/12 = 5/6 |
| Multiplicar por la inversa | Se da la vuelta a la segunda y se multiplica: 2/3 × 5/4 | 10/12 = 5/6 |
| Común denominador | 10/15 : 12/15, y se dividen los numeradores: 10 : 12 | 10/12 = 5/6 |
Las dos primeras son la misma cuenta escrita de otra manera. La tercera es la menos conocida y la que más se entiende, como veremos. Pero ninguna de las tres responde a la pregunta que se hace cualquier niño: ¿por qué?
La pregunta que lo explica: ¿cuántas caben?
Dividir no es solo repartir. 12 : 3 también significa «¿cuántas veces cabe el 3 en el 12?». Con números naturales casi nunca se usa así, porque repartir es más intuitivo. Con fracciones, en cambio, este segundo significado es el que da sentido a todo.
3 : 1/2 es «¿cuántas mitades caben en 3?». Tres pizzas, cada una partida por la mitad: seis mitades. 3 : 1/2 = 6. El ejemplo es de los apuntes de Pedro Ramos para futuros maestros (Universidad de Alcalá): un grupo de amigos compra 3 pizzas y cada uno se come media; ¿cuántos amigos son? Seis. Y añade que con ejemplos así no es difícil entender que dividir entre 1/n es lo mismo que multiplicar por n.
Lo mismo con otras fracciones. 3 : 1/4 = 12, porque en cada pizza caben 4 cuartos. 3/4 : 1/8 = 6, porque 3/4 son 6/8 y ahí caben seis octavos. El resultado sale más grande que el número de partida, y eso ya no sorprende: si los trozos son pequeños, caben muchos.
De ahí sale la regla de la inversa
Ahora la inversa deja de ser un truco. En una unidad caben 2 mitades, así que en 3 unidades caben 3 × 2. Dividir entre 1/2 es multiplicar por 2, y 2 es la inversa de 1/2.
¿Y si la fracción no tiene un 1 arriba? 2 : 2/3, ¿cuántos dos tercios caben en 2? En 2 hay 6 tercios, y de dos en dos salen 3 grupos. En una sola unidad, 2/3 cabe una vez y media, es decir, 3/2 veces. Así que dividir entre 2/3 es multiplicar por 3/2: 2 × 3/2 = 3. La inversa es exactamente cuántas veces cabe la fracción en una unidad.
Michelle Manes, de la Universidad de Hawái, lo plantea igual en su manual Matemáticas para profesores de primaria: trabaja primero el significado de «¿cuántos grupos caben?» con dibujos, y deja la regla para el final. Ella misma califica la división de fracciones como una de las ideas más difíciles de las matemáticas de Primaria.
Cuando no cabe un número exacto de veces
No siempre sale un número entero. 1/2 : 1/3, ¿cuántos tercios caben en media pizza? Uno cabe seguro, y sobra un trozo. Para ver cuánto es ese trozo, el común denominador es la herramienta perfecta: 1/2 son 3/6 y 1/3 son 2/6. ¿Cuántas veces caben 2 sextos en 3 sextos? Una vez y media. 1/2 : 1/3 = 3/2.
Por eso el método del común denominador, el menos conocido de la tabla del principio, es el que mejor se entiende: una vez que las dos fracciones tienen trozos del mismo tamaño, dividir fracciones es dividir el número de trozos. 3 sextos entre 2 sextos es como 3 caramelos entre 2 caramelos. Ramos lo propone también como alternativa, con 2/3 : 1/4 = 8/12 : 3/12 = 8/3.
Productos cruzados frente a cuántas caben
Los productos cruzados tienen una ventaja: son rápidos. Y un inconveniente: no dicen nada. Un niño que solo sabe la regla cruza los números que no son, o los cruza en una multiplicación, y no tiene forma de darse cuenta. Un niño que piensa en «cuántas caben» puede estimar antes de calcular: 3/4 : 1/8 tiene que dar más de 1, porque un octavo cabe varias veces en tres cuartos.
La diferencia se nota sobre todo en los problemas. Un estudio de la Universidad de Alicante con 403 alumnos de 5.º de Primaria a 2.º de ESO, publicado en la Revista Electrónica de Investigación Educativa (Zorrilla, Ivars y Fernández, 2023), comparó problemas de multiplicación, de reparto y de «cuántas caben» (división medida) con números naturales y con fracciones. Con fracciones, el nivel de éxito fue menor, y los alumnos tenían dificultades para reconocer que la estructura del problema era la misma que con naturales.
La otra cara: repartir una fracción
Dividir una fracción entre un número entero sí es repartir, y ahí el sentido de siempre funciona. Si quedan 3/4 de tarta y son 3 hermanos, a cada uno le toca 1/4: 3/4 : 3 = 1/4. Con 2/5 : 4, cada uno se lleva la cuarta parte de dos quintos, que es 2/20, o sea, 1/10.
Merece la pena que tu hijo distinga las dos situaciones. «Repartir entre» un número entero da trozos más pequeños. «Cuántas caben» una fracción da normalmente un número más grande. Las dos son división.
Cómo practicarlo en casa
- Empieza sin lápiz, con cosas: una botella de 1,5 litros y vasos de 1/4 de litro. ¿Cuántos vasos llena? Seis, porque en cada litro caben cuatro y en el medio litro, dos.
- Pasa luego a dividir enteros entre fracciones unitarias: 2 : 1/3, 4 : 1/2, 5 : 1/5.
- Solo después, fracción entre fracción, y siempre con una estimación antes: ¿más o menos de 1?
Cuando ya le salga el razonamiento, la regla se aprende sola. En las fichas de multiplicar y dividir fracciones tienes hojas de número entre fracción y de fracción entre fracción. Y si todavía flojea la multiplicación, empieza por multiplicar fracciones. Para mañana, la pregunta del vaso: ¿cuántos vasos de un cuarto de litro salen de una botella de litro y medio?
Fichas de fracción entre fracción
Divisiones de fracciones para imprimir, con hoja de soluciones. Ideales para practicar la estimación antes de la regla.