Cómo enseñar a sumar fracciones sin el error 1/2 + 1/3 = 2/5
Cualquier docente de 5.º o 6.º lo ha visto en un cuaderno: 1/2 + 1/3 = 2/5. El alumno ha sumado los numeradores, ha sumado los denominadores y está convencido de que lo ha hecho bien. Corregirle la cuenta no sirve de mucho, porque vuelve a la semana siguiente. Lo que sí funciona es que antes de sumar dibuje las dos fracciones con trozos del mismo tamaño. Esta es una secuencia para llegar ahí.
Por qué el 2/5 tiene su lógica
Para el alumno, 1/2 + 1/3 = 2/5 no es un disparate. Lleva cinco años sumando números, y una fracción parece dos números con una raya en medio. Si 1 + 1 = 2 y 2 + 3 = 5, el resultado es 2/5. Ha aplicado lo que sabe a algo que se parece a lo que sabe.
La investigación lo describe desde hace décadas. La revisión de José del Río (Universidad de Salamanca) sobre concepciones erróneas en matemáticas recoge los errores que Tatsuoka encontró en 600 alumnos de secundaria, y uno de ellos es considerar que el numerador y el denominador son elementos independientes con los que se puede operar por separado. Un trabajo más reciente de Ríos Cuesta y Asprilla Mena, publicado en la Revista Boletín Redipe (2022), encuentra lo mismo en 195 alumnas de 7.º grado de Quibdó (Colombia) y cita un estudio con alumnos de 12 y 13 años de Inglaterra y Taiwán en el que, en uno de los grupos, el 30% sumaba numeradores y denominadores, del tipo 2/3 + 1/7 = 3/10.
Es decir: no es un despiste de un alumno, es una forma de pensar que hay que desmontar. Y no se desmonta con una regla nueva encima, sino haciendo que el alumno vea por qué la suya no puede funcionar.
Paso 1: el denominador es un nombre, no un número que se suma
Antes de llegar a denominadores distintos, conviene asegurarse de que la suma con el mismo denominador se entiende de verdad. La forma más directa es leer las fracciones en voz alta con su nombre: «dos quintos más un quinto». Dos manzanas y una manzana son tres manzanas, no tres «dos manzanas». Dos quintos y un quinto son tres quintos.
Pedro Ramos, que forma a futuros maestros en la Universidad de Alcalá, lo resume en sus apuntes de fracciones con una frase que vale la pena llevar a clase: el denominador fija la unidad; el numerador dice cuántas unidades tomo. Si el denominador es la unidad, sumarlo no tiene sentido, igual que no se suman los «metros» de 2 metros + 3 metros.
Una pregunta de control para la pizarra: «dos quintos más un quinto, ¿son tres décimos?». Si alguien duda, todavía no está listo para el paso siguiente.
Paso 2: la estimación que desmonta el 2/5
Antes de enseñar cómo se suma 1/2 + 1/3, pregunta si 2/5 puede ser el resultado. La herramienta es comparar con la mitad: 2/5 es menos que 1/2, porque la mitad de 5 sería 2 y medio. Así que el supuesto resultado es más pequeño que uno de los sumandos. Si tengo media pizza y me dan un tercio más, no puedo tener menos de media pizza.
Este paso parece un rodeo y es el que más rinde. Un alumno que ha aprendido a preguntarse «¿esto tiene sentido?» detecta el error él solo, y además practica algo que el Real Decreto 157/2022 pide en el tercer ciclo: comprobar la corrección matemática de las soluciones y su coherencia con el contexto. Dedícale una sesión entera a estimar sumas de fracciones sin calcularlas: ¿más o menos de 1/2? ¿Más o menos de 1?
Paso 3: dibujar las dos fracciones con barras del mismo tamaño
Ahora sí, el dibujo. Dos barras de papel de la misma longitud, una debajo de la otra. En la primera se colorea la mitad; en la segunda, un tercio. Y se hace la pregunta: «si juntamos lo coloreado, ¿cuánto tenemos?».
Los alumnos se dan cuenta enseguida de que no pueden contar los trozos: uno es una mitad y el otro un tercio, y no son del mismo tamaño. Dos trozos, sí, pero dos trozos distintos. Ramos lo dice así: para un niño que trabaja este problema con el modelo correspondiente es mucho más fácil entender la imposibilidad de sumar fracciones con distinto denominador. No hace falta decirles que no se puede: lo están viendo.
Una nota práctica sobre el material. Los círculos y las pizzas son muy bonitos para introducir fracciones, pero partir un círculo en tercios o en quintos iguales a mano es casi imposible, y los trozos mal dibujados confunden más que ayudan. Las barras (tiras de papel, cuadrículas del cuaderno) se parten con regla y con exactitud. Para sumar, mejor barras.
Y otra: las dos barras tienen que ser del mismo tamaño. Si un alumno dibuja la mitad en una barra de 4 cuadros y el tercio en una de 9, está comparando mitades y tercios de cosas distintas, y el problema vuelve por la puerta de atrás.
Paso 4: trocear hasta que los trozos sean iguales
El siguiente reto es: «parte las dos barras en trozos más pequeños hasta que todos los trozos sean iguales». Muchos alumnos llegan solos a los sextos, doblando la tira o probando en la cuadrícula. La mitad son 3 sextos, el tercio son 2 sextos, y ahora sí se pueden contar: 3/6 + 2/6 = 5/6.
Hay un dibujo que hace este paso casi automático. Se toma un rectángulo, se parte con una raya vertical por la mitad y se colorea la mitad izquierda. En otro rectángulo igual, se parte con rayas horizontales en tercios y se colorea uno. Después se trazan en cada rectángulo las rayas del otro. Los dos quedan partidos en 2 × 3 = 6 casillas iguales, y se cuenta: 3 casillas más 2 casillas.
Ramos recomienda precisamente esto: en lugar de dar el procedimiento («se reducen a común denominador»), proponer enfoques así, en la zona de desarrollo próximo del alumno. La regla llega después, como una manera rápida de hacer lo que ya han hecho con el dibujo.
Sumas y restas de fracciones, nivel a nivel
Doce niveles que van del mismo denominador a los números mixtos. Tus alumnos practican con estrellas y tú ves su progreso.
Paso 5: una secuencia de denominadores, de menos a más
No todas las sumas con distinto denominador cuestan lo mismo. Ordenarlas evita que el alumno se encuentre con 5/12 + 7/18 antes de haber entendido 1/2 + 1/4.
| Etapa | Ejemplo | Qué cambia |
|---|---|---|
| Mismo denominador | 2/5 + 1/5 = 3/5 | Nada: se cuentan trozos iguales |
| Uno múltiplo del otro | 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4 | Solo cambia una fracción |
| Sin divisores comunes | 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 | Cambian las dos; el común es el producto |
| Con un divisor común | 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 | Hace falta el m.c.m.; el producto (24) sería más grande de lo necesario |
| Resultado para simplificar o mayor que 1 | 5/6 + 3/4 = 10/12 + 9/12 = 19/12 = 1 7/12 | Hay que acabar la cuenta |
Encaja con el currículo. El Real Decreto 157/2022 sitúa en el segundo ciclo las fracciones propias con denominador hasta 12 y las estrategias de cálculo mental con fracciones, y en el tercer ciclo la relación de divisibilidad (múltiplos y divisores), que es lo que hace falta para la cuarta fila. En la web, los 12 niveles de sumas y restas de fracciones siguen un orden parecido: igual denominador, cambiar el denominador de una fracción, denominador múltiplo, m.c.m., simplificar y números mixtos.
Paso 6: del dibujo a la regla, sin prisa y sin quedarse
¿Cuándo se deja de dibujar? Una buena señal es que el alumno sepa decir cómo quedaría el dibujo sin hacerlo: «la mitad serían tres sextos». Ese es el momento de escribir la regla: se buscan fracciones equivalentes con el mismo denominador, y se suman los numeradores. Para entonces, la regla solo pone nombre a algo que ya hacen.
Lo que no conviene es retirar la estimación. Aunque el alumno ya no dibuje, que siga preguntándose si el resultado tiene sentido: ¿más que el sumando mayor? ¿Menos de 2? Eso es lo que le protegerá cuando, dentro de dos cursos, se le mezclen las reglas de sumar con las de multiplicar.
Los errores que conviene buscar en los cuadernos
Cuando corrijas, merece la pena distinguir de qué tipo es cada error, porque cada uno pide una respuesta distinta.
- Sumar arriba y abajo (1/2 + 1/3 = 2/5). Vuelta al paso 2 y al 3: la estimación y las barras.
- Cambiar el denominador y no el numerador. Escribe 1/2 como 1/6 porque «ahora son sextos». Entiende que hay que igualar los trozos, pero no que al hacerlos más pequeños hay más. Pídele que dibuje 1/2 y 1/6 uno debajo del otro.
- Multiplicar los denominadores y sumar los numeradores (1/2 + 1/3 = 2/6). Es una regla recordada a medias, otro de los errores que recoge la revisión de del Río. Suele salir de alumnos que aprendieron el método de la mariposa sin el dibujo.
- La cuenta bien, el final sin terminar. Deja 9/12 o 19/12 cuando el enunciado pedía simplificar o dar un número mixto. Aquí no hay un problema de comprensión; es costumbre de repasar el resultado.
Cómo enseñar a sumar fracciones desde mañana
Escribe en la pizarra 1/2 + 1/3 = 2/5 y pregunta: «¿verdad o mentira?». Que voten antes de discutir. Después, reparte dos tiras de papel del mismo largo por pareja y deja que lo comprueben. La conversación que sale de ahí vale más que diez sumas corregidas.
Para la práctica individual, con una cuenta gratuita de docente puedes crear tu clase con una contraseña, añadir los nombres de tus alumnos y elegir qué materias ven. Ellos entran desde alumnos con la contraseña de la clase, sin correo electrónico, y tú ves por cada alumno las estrellas que lleva en cada materia. Así sabes quién está todavía en el mismo denominador y quién ya puede con el m.c.m. Si prefieres papel, en las fichas de sumas y restas de fracciones tienes hojas por etapas, con su hoja de soluciones.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto tiempo hay que dedicar al dibujo antes de dar la regla?
No hay una cifra fija. Lo que importa es la señal: cuando el alumno sabe decir cómo quedaría el dibujo sin hacerlo, ya puede pasar a la regla. Con muchos grupos son un par de sesiones de barras y estimación; con otros, más. Ir rápido aquí suele costar semanas de corrección después.
¿Enseño el método de la mariposa o el mínimo común múltiplo?
Las dos dan bien. La mariposa es cómoda cuando los denominadores no tienen divisores comunes, pero produce números grandes cuando uno es múltiplo del otro. Si se enseña, que sea después del dibujo y como un atajo explicado, no como una receta suelta.
¿Qué hago con el alumno que ya trae la regla aprendida de casa o de una academia?
Que la use, pero pídele que la explique con un dibujo. Muchos alumnos que calculan bien no saben por qué se multiplica el numerador. Ese alumno puede ser quien presente las barras al resto: explicarlo le obliga a entenderlo.
¿Cómo lo trabajo con alumnos que todavía no dominan las tablas?
Empieza por denominadores de la misma familia (2, 4 y 8; 3, 6 y 12), donde el común se ve con el dibujo sin calcular múltiplos. Así la idea de igualar trozos no queda bloqueada por las tablas, que se pueden reforzar en paralelo.