Multiplicar fracciones: fácil de hacer, raro de entender
Después de semanas peleando con el denominador común, multiplicar fracciones parece un regalo: arriba por arriba, abajo por abajo, y ya está. Tu hijo lo aprende en una tarde. Lo que no aprende en una tarde es por qué 1/2 × 1/3 da 1/6, un número más pequeño que los dos que ha multiplicado. Y ese desconcierto, si nadie lo aclara, vuelve más adelante en forma de errores.
La regla para multiplicar fracciones cabe en una línea
Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. 2/3 × 4/5 = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15. No hay que buscar denominador común, no hay que cambiar ninguna fracción antes de empezar. Al final, si se puede, se simplifica.
Pedro Ramos, profesor de la Universidad de Alcalá que forma a futuros maestros, lo resume así en sus apuntes de fracciones: desde el punto de vista del algoritmo, multiplicar fracciones es más sencillo que sumarlas; desde el punto de vista conceptual, es mucho más complicado. Ese es el problema en dos frases.
Por qué el resultado sale más pequeño
Desde que empezó con las tablas, tu hijo ha aprendido que multiplicar es sumar varias veces lo mismo. 3 × 4 son tres veces cuatro, 12. Con esa idea, multiplicar siempre hace las cosas más grandes. Y con números naturales es verdad, salvo con el 0 y el 1.
Con fracciones deja de serlo. 1/2 × 1/3 = 1/6, y 1/6 es menor que 1/2 y que 1/3. Para un niño que piensa en «veces», eso no tiene sentido: ¿cómo voy a tener menos después de multiplicar? Los investigadores lo llaman la creencia de que la multiplicación siempre agranda, y un estudio presentado en el congreso del COMIE (México) la vincula precisamente a haber aprendido la multiplicación como suma repetida. No es un fallo del niño: es una regla que le funcionó durante años y que ahora tiene que ampliar.
La palabra que lo arregla: "de"
Cambia el «por» por «de». 1/2 × 1/3 se lee «la mitad de un tercio». Si tienes un tercio de una tableta de chocolate y te comes la mitad, ¿cuánto te has comido? Un trozo más pequeño que el tercio. Si la tableta tuviera seis onzas, el tercio serían dos onzas y la mitad de eso, una: 1/6 de la tableta.
Con un número entero se ve todavía mejor. 1/3 × 18 es «la tercera parte de 18», o sea, 18 : 3 = 6. Y 2/3 × 18 son dos tercios de 18: 12. Multiplicar por 1/3 es lo mismo que dividir entre 3. Esa frase, dicha en voz alta un par de veces, quita más dudas que cualquier regla.
De paso, le sirve para estimar. Si multiplicas por una fracción menor que 1, el resultado será más pequeño que el otro número. Si multiplicas por una mayor que 1, como 3/2, será más grande: 3/2 × 8 = 12.
Fichas de fracción por fracción
Multiplicaciones de fracciones para imprimir, con hoja de soluciones, para practicar la regla y el dibujo en casa o en clase.
El dibujo: un cuadrado partido dos veces
Dibuja un cuadrado. Pártelo con rayas verticales en tercios y colorea uno. Ahora parte el mismo cuadrado con una raya horizontal por la mitad y raya la mitad de arriba. La zona que está a la vez coloreada y rayada es la mitad de un tercio. Cuenta las casillas: el cuadrado tiene 2 × 3 = 6 y esa zona es una. 1/6.
Con fracciones más grandes funciona igual. 3/4 × 2/5: cuatro columnas y cinco filas, 20 casillas en total; tres columnas coloreadas, dos filas rayadas; se cruzan en 3 × 2 = 6 casillas. 6/20, que se simplifica a 3/10. El dibujo explica la regla: los denominadores multiplicados dan el número de casillas, y los numeradores multiplicados, las casillas que se cruzan.
Simplificar antes de multiplicar
Hay un atajo que ahorra números grandes: simplificar un numerador con un denominador antes de multiplicar, aunque no sean de la misma fracción. 4/9 × 3/8: el 4 y el 8 se dividen entre 4 (quedan 1 y 2) y el 3 y el 9 entre 3 (quedan 1 y 3). La cuenta queda 1/3 × 1/2 = 1/6. Sin el atajo, saldría 12/72 y habría que simplificar entre 12.
Este atajo solo vale para multiplicar. Si tu hijo lo intenta en una suma, para. Sumar y multiplicar fracciones se parecen en la forma y no se parecen nada en el fondo, y mezclar sus reglas es la fuente de la mayoría de los errores.
Multiplicar fracciones y números mixtos sin caer en la trampa
Con números mixtos, la tentación es multiplicar los enteros por un lado y las fracciones por otro: 1 1/2 × 2 1/3 = 2 1/6. Está mal. Hay que pasar antes a fracción impropia: 3/2 × 7/3 = 21/6 = 7/2, es decir, 3 1/2. Una estimación rápida lo confirma: algo más de 1 por algo más de 2 tiene que dar bastante más que 2.
Para practicar, en las fichas de multiplicar y dividir fracciones hay hojas de fracción por número, fracción por fracción y números mixtos. Y el paso siguiente, el que de verdad descoloca, es dividir fracciones, donde el resultado sale más grande. Mañana, antes de abrir el cuaderno, pregúntale: ¿cuánto es la mitad de la mitad? Si contesta «un cuarto», acaba de multiplicar 1/2 × 1/2 sin darse cuenta.
Preguntas frecuentes
¿Por qué para multiplicar no hace falta el denominador común?
Porque al multiplicar no se juntan trozos, se toma una parte de una parte. En una suma, los trozos tienen que ser del mismo tamaño para poder contarlos juntos. En una multiplicación, el producto de los denominadores ya fabrica los trozos nuevos, como se ve en el dibujo del cuadrado.
¿Qué pasa si se multiplica con denominador común?
Que sale mal. 1/2 × 1/3 pasado a sextos sería 3/6 × 2/6, y si el niño multiplica arriba y deja el 6 abajo obtiene 6/6, que es 1. Es un error frecuente en los niños que acaban de aprender a sumar y aplican la misma receta a todo.
¿En qué curso se aprende a multiplicar fracciones?
Depende del colegio y del libro de texto, pero suele trabajarse en el tercer ciclo, en 5.º y sobre todo en 6.º. El Real Decreto 157/2022 incluye para ese ciclo las operaciones con números naturales, decimales y fracciones, sin fijar un curso concreto.