Problemas de matemáticas lógica para romper el automatismo

La edad del capitán

«En un barco hay 20 cabras y 15 vacas. ¿Cuál es la edad del capitán?». El problema se planteó a 97 alumnos de Primaria en un estudio del IREM de Grenoble de 1980, y alrededor del 75 % respondió 35. Sumaron los dos números del enunciado sin preguntarse qué tienen que ver las cabras con la edad de nadie.

El dato lo recogen J. M. Chamoso y otros investigadores de la Universidad de Salamanca en un artículo sobre los problemas de matemáticas escolares de Primaria (Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática, 2014). Lo llaman resolución superficial: buscar una palabra clave, hacer la operación que sugiere con los números que hay y dar el resultado sin comprobar si tiene sentido.

Por qué operan con todos los números

No es pereza. Es que los problemas de los libros les han enseñado así. Si en cada ejercicio todos los datos son necesarios, ninguno sobra y siempre hay solución, la estrategia de juntar números con una operación funciona casi siempre. El alumno no se equivoca al aprenderla; se equivoca el material al no desmentirla nunca.

La solución no es dar más problemas del mismo tipo, sino meter de vez en cuando uno en el que esa regla falle. Uno basta para que el alumno vuelva a leer el siguiente con más atención.

Problemas de matemáticas lógica con datos que sobran o que faltan

1. Un dato que sobra. «Sofía tiene 9 años. Compra 3 cuadernos a 2 € cada uno y paga con un billete de 10 €. ¿Cuánto le devuelven?». La respuesta es 4 €. El 9 está ahí para que alguien lo use.

2. Un dato que falta. «En el autobús van 24 alumnos. En la parada suben algunos más. ¿Cuántos van ahora?». No se puede saber. La respuesta correcta es decirlo, y explicar qué dato haría falta.

3. Una pregunta sin relación con los datos. «En una clase hay 13 niños y 12 niñas. ¿Cuántos años tiene la maestra?». Es la edad del capitán en versión de aula. Merece la pena ver cuántos escriben 25.

4. Un resultado que hay que interpretar. «En cada autobús caben 40 alumnos. ¿Cuántos autobuses hacen falta para 130?». La división da 3 y sobran 10. La respuesta es 4 autobuses, porque los 10 que sobran no se quedan en el colegio. El artículo de Chamoso cita otro de este tipo: «Juan corre los 100 metros en 17 segundos. ¿Cuánto tardará en correr 1 kilómetro?». Multiplicar por 10 da 170 segundos, pero nadie mantiene ese ritmo durante un kilómetro entero.

Problemas sin operación a la vista

5. Ordenar con pistas. «Lucía es más alta que Leo. Leo es más alto que Paula. ¿Quién es la más baja?». Paula. No hay ningún cálculo, y por eso desconcierta a los que buscan la operación.

6. Varias soluciones. «Solo tienes monedas de 2 € y billetes de 5 €. ¿Cómo pagas 16 € exactos?». Con 8 monedas de 2 €, o con 2 billetes de 5 € y 3 monedas de 2 €. Hay dos respuestas, y encontrarlas todas es parte del problema.

7. Probar y ajustar. «En un corral hay gallinas y conejos. Se cuentan 10 cabezas y 28 patas. ¿Cuántos conejos hay?». En 4.º no se resuelve con ecuaciones, sino probando: si fueran 10 gallinas, habría 20 patas; faltan 8, y cada conejo añade 2. Son 4 conejos y 6 gallinas.

8. La pregunta escondida. «Mateo tiene 15 cromos y Daniel 6 más que él. ¿Cuántos tienen entre los dos?». Es fácil contestar 21, que es lo que tiene Daniel. La respuesta es 36. Este error, contestar con el dato intermedio, está desarrollado en problemas de dos operaciones.

Cómo usarlos sin que se conviertan en otro truco

Si un viernes anuncias «hoy toca problemas trampa», los alumnos buscarán la trampa y aprenderán otra regla: en estos problemas siempre sobra algo. El efecto se consigue cuando aparecen mezclados, sin aviso, uno por ficha.

• Añade a todas las fichas de problemas una casilla «No se puede saber». Si nunca se usa, los alumnos la ignoran; si se usa una vez de cada diez, la leen.
• Pide siempre la respuesta con una frase completa: «Le devuelven 4 €». Escribir «la maestra tiene 25 años» hace ver el absurdo mejor que el número suelto.
• Antes de operar, pregunta qué se pide y qué datos hacen falta. Tachar el dato que sobra antes de calcular es un hábito que se puede enseñar.

El Real Decreto 157/2022 lo pide entre los criterios de evaluación del segundo ciclo: demostrar la corrección matemática de las soluciones de un problema y su coherencia en el contexto planteado. Un 35 a la edad del capitán es correcto matemáticamente y nada coherente con el contexto, y por eso estos problemas evalúan algo que la ficha habitual no ve.

Para la próxima ficha

Coge la ficha de problemas que ibas a poner mañana y cambia uno solo: añade un dato que sobre, como la edad de Sofía. No digas nada. Al corregir, cuenta cuántos lo han usado. Ese número es un buen indicador de cuánto leen tus alumnos antes de calcular, y conviene volver a medirlo a final de trimestre.

Un paso más, cuando ya los reconocen: que sean ellos quienes escriban un problema con un dato que sobre para que lo resuelva el compañero de mesa. Para esconder bien un dato inútil hay que saber exactamente cuáles hacen falta, y eso obliga a entender la estructura del problema mejor que cualquier resolución. Lo mismo vale para un problema al que le falta un dato: si el compañero lo detecta, los dos han ganado.

Si quieres seguir por la línea del razonamiento sin cuentas, los problemas de balanzas son el siguiente paso: obligan a pensar en relaciones antes que en operaciones.