Problemas de cambio: por qué la incógnita al principio cuesta tanto

Seis problemas de cambio con los mismos números

Un problema de cambio cuenta una historia en el tiempo: había una cantidad, pasó algo que la aumentó o la disminuyó, y quedó otra. La incógnita puede estar al final, en el cambio o al principio. Con aumento o disminución, salen seis tipos. Aquí están todos con 7, 5 y 12:

En la literatura se numeran del 1 al 6 en este orden, y los dos últimos, cambio 5 y cambio 6, son los de la incógnita al principio. Fíjate en las operaciones: no hay ninguna cuenta nueva. Todo se resuelve con 7 + 5 o con una resta hasta 12. La dificultad no está en el cálculo.

Por qué la incógnita al principio cuesta tanto

La historia empieza por lo que no se sabe. «Tenía algunos» no da nada a lo que agarrarse. Un niño de 6 años suele resolver los problemas representándolos: saca 7 fichas, añade 5, cuenta. Con «algunos» no puede empezar a sacar fichas. Un trabajo de Yáñez y otros autores de la Universitat de València y la Universidad de Castilla-La Mancha, presentado en el congreso de la SEIEM de 2019, lo describe así: en los problemas de cambio 5 y 6 la primera cantidad que aparece es desconocida, y eso da al enunciado una estructura temporal más compleja que la del resto.

Las palabras empujan hacia la operación contraria. En el cambio 5, «le dan» suena a sumar, y hay que restar. En el cambio 6, «pierde» suena a restar, y hay que sumar. Alicia Bruno, Antonio Martinón y Fidela Velázquez lo llaman lenguaje inconsistente en su artículo Algunas dificultades en los problemas aditivos (revista SUMA, 2001), y ponen precisamente este ejemplo: «Después de ganar 3 pta, ahora J tiene 5 pta. ¿Cuántas pta tenía antes?». Hay que restar aunque diga ganar.

Y la dificultad no desaparece con la edad. En el estudio de Bruno y sus colegas, con alumnos de 3.º a 6.º, los problemas de cambio con la incógnita al final tuvieron entre un 91 % y un 94 % de aciertos. Con la incógnita al principio bajaron al 77 % y al 78 %. Si eso pasa con niños de 8 a 12 años, en 1.º y 2.º la diferencia se nota mucho más.

El error más frecuente, y lo que dice

Ante «tenía algunos, le dan 5 y ahora tiene 12», el alumno que falla escribe 12 + 5 = 17. No es un error de cálculo. Ha tomado los dos números que ve y la palabra «dan», y ha sumado. Es la estrategia de la palabra clave, y funciona en los cuatro primeros tipos de la tabla lo bastante a menudo como para que el niño se la crea.

Hay una pregunta que lo desmonta en segundos: «Si ahora tiene 12 y antes le dieron cromos, ¿antes tenía más o menos que ahora?». Menos. Entonces 17 no puede ser. Esa comprobación de sentido común es la misma que hace falta en cualquier problema, y se entrena mejor aquí que en ningún otro sitio. Hay más problemas para romper ese automatismo en problemas de matemáticas lógica.

Cómo enseñar los problemas de cambio al revés

Con una caja cerrada. Mete algunas fichas en una caja sin que vean cuántas. Añade 5 a la vista. Abre la caja y cuenta todas delante de la clase: 12. «¿Cuántas había al principio?». Ahora «algunas» es algo que se puede tocar: lo que había en la caja. Para comprobar, se sacan las 5 de antes y se cuentan las que quedan.

Con la recta abierta. Una marca con un interrogante, un salto de +5, una marca con el 12. Para encontrar el principio, se hace el salto de vuelta: 5 hacia atrás desde el 12. El dibujo deja claro que se trata de deshacer el cambio. Explicamos esta herramienta en la recta numérica abierta.

Con el número que falta. El problema se escribe como □ + 5 = 12. Para muchos alumnos, ver el hueco delante de la suma ayuda más que cualquier explicación. Es la misma estructura que las sumas con un número desconocido, que se pueden practicar aparte de los enunciados.

Una secuencia para 1.º y 2.º

1. Empieza con la incógnita al final, con aumento y con disminución, hasta que lo resuelvan sin dudar.
2. Pasa a la incógnita en el cambio, con la caja o con la recta.
3. Introduce la incógnita al principio con material, y después únicamente con el enunciado.
4. Mézclalos. Si siempre van por bloques, el alumno aprende que «esta semana se resta» y deja de leer.
5. Pide que inventen problemas: «Inventa un problema que se resuelva con 12 − 5 y en el que diga le dan». Inventarlo obliga a entender la estructura.

El orden importa menos que no saltarse los dos últimos tipos. Si en el libro de 1.º casi todos los problemas tienen la incógnita al final, el alumno puede llegar a 3.º sin haberse encontrado nunca con un «tenía algunos».

Mañana, una prueba de dos minutos: pon a la clase los seis problemas de la tabla en orden aleatorio, sin decir que tienen los mismos números. Mira quién suma 12 + 5 en el quinto. Esa es tu lista para la próxima semana.