Problemas de dos operaciones: el dato que nadie pregunta

Por qué fallan problemas que sabrían calcular

Un problema de los de toda la vida:

Martina tiene 25 cromos. Su abuela le regala 18. Después, ella le da 12 a Leo. ¿Cuántos cromos tiene ahora?

Las operaciones son 25 + 18 = 43 y 43 − 12 = 31. Ninguna es difícil para un alumno de final de 2.º. Pero el 43 no lo pide el enunciado. Es la respuesta a una pregunta que no está escrita: ¿cuántos cromos tiene Martina después del regalo de la abuela? El alumno que no formula esa pregunta escondida no sabe qué hacer con los tres números que tiene delante.

En la investigación española se les llama problemas de dos etapas: se resuelven con dos operaciones encadenadas. Lo que separa una etapa de otra es justamente ese dato intermedio.

Error 1: contestar con el dato intermedio

El alumno hace 25 + 18 = 43, ve un resultado y lo da por bueno. Es el error más frecuente al empezar con problemas de dos operaciones, y tiene lógica: hasta ahora, cada problema tenía una sola operación, y al terminarla se acababa el problema.

Cómo detectarlo: el alumno no ha usado uno de los datos. Una pregunta muy sencilla para el final de cada problema es «¿has usado todos los números?». No siempre hay que usarlos todos, pero obliga a releer.

Error 2: juntar todos los números

El alumno ha oído que hay que usar todos los datos, así que suma los tres: 25 + 18 + 12 = 55. O los resta en cadena. No ha pensado qué le pasa a cada cantidad; ha aplicado la misma operación a todo lo que tiene.

Aquí el problema es que no se ha imaginado la situación. Si se le pide que lo represente con fichas, se da cuenta enseguida de que los 12 cromos se van, no llegan. Es el error que mejor se corrige dramatizando: un alumno es Martina, otro la abuela y otro Leo.

Error 3: fiarse de las palabras clave

Muchas aulas tienen un mural de palabras que «indican» cada operación. La guía del Plan de Rescate de las Matemáticas de Madrid propone uno: «en total», «añadir» o «más que» junto a la suma; «quitar», «cuántos quedan» o «menos que» junto a la resta. Como vocabulario es útil. Como regla para decidir la operación, en un problema de dos etapas se vuelve una trampa:

Hugo tiene 34 canicas, 9 más que Sofía. En el recreo, Sofía gana 15. ¿Cuántas canicas tiene Sofía ahora?

Aparece «más que», y el alumno que busca palabras suma: 34 + 9 = 43, y luego 43 + 15 = 58. Pero si Hugo tiene 9 más que Sofía, Sofía tiene 9 menos: 34 − 9 = 25. Ese 25 es el dato intermedio, y después 25 + 15 = 40. La palabra «más» escondía una resta. Usa el mural para nombrar las operaciones, nunca para elegirlas.

Error 4: operar en el orden en que aparecen los números

Leo se gasta 15 € en un libro y 8 € en un cómic. Antes de ir a la tienda tenía 40 €. ¿Cuánto dinero le queda?

Los números aparecen en un orden que no es el de la historia: la cantidad inicial llega al final. El alumno que opera de izquierda a derecha hace 15 − 8 = 7 y se queda atascado con el 40. Lo correcto es 15 + 8 = 23 (lo que se ha gastado, el dato intermedio) y 40 − 23 = 17. O bien 40 − 15 = 25 y 25 − 8 = 17.

Lo cometen sobre todo los alumnos acostumbrados a problemas en los que las operaciones siguen el orden del texto. Un análisis de los problemas de dos etapas en los libros de 4.º de dos editoriales muy usadas, de Ngonde-Ernesto y Gavilán-Izquierdo (Universidad de Sevilla), encontró que predominan con mucha diferencia los de esquema jerárquico, que son según los autores los más fáciles de reconocer y resolver por el orden de sus operaciones. Proponen que los distintos tipos estén presentes de forma equilibrada desde el principio. Si los alumnos solo ven problemas que se resuelven en el orden del texto, aprenden a leer el orden del texto, no el problema.

Dibujar los problemas de dos operaciones en dos pasos

Lo que funciona es hacer visible el dato intermedio antes de calcular nada. La herramienta más sencilla es dibujar el problema en dos viñetas, una por etapa:

1. Primera viñeta: Martina con 25 cromos y la abuela que llega con 18. Debajo, un recuadro con una interrogación: «¿cuántos tiene ahora?».
2. Segunda viñeta: Martina con el número del recuadro, y Leo que se lleva 12. Debajo, la pregunta del enunciado.

El recuadro de la primera viñeta es la pregunta escondida, y escribirla con palabras es más importante que calcularla. Quien trabaje con el método Singapur lo reconocerá: es la misma idea que el modelo de barras, con una barra para cada paso. El Real Decreto 157/2022 lo recoge para el primer ciclo como un proceso guiado de modelización, con dibujos, esquemas y diagramas, para comprender y resolver problemas de la vida cotidiana.

Cuatro actividades para el aula

• Problemas sin pregunta. Se da el enunciado sin la última frase. Los alumnos inventan todas las preguntas posibles. Casi siempre sale primero la pregunta intermedia, y entonces se puede señalar: esta es la que nunca os preguntan.
• Partir un problema en dos. Se reescribe un problema de dos etapas como dos problemas de una. Luego se vuelven a juntar y se comprueba qué pregunta ha desaparecido.
• Mismo enunciado, otro orden. Se escribe el problema de Leo con la cantidad inicial delante y con ella detrás. ¿Cambia la solución? Ayuda a que lean la historia y no el orden.
• Detectar el error. Se presenta una solución con el error 1, 2 o 3 y el grupo explica qué ha hecho mal ese alumno imaginario.

Los números deben ser fáciles a propósito, hasta 100 y con pocas llevadas, para que toda la atención vaya a la estructura. Si un alumno falla el cálculo, conviene separarlo: primero reforzar las sumas y restas de cabeza, y después volver al problema. Mañana mismo se puede empezar por la primera actividad: un problema sin pregunta en la pizarra y cinco minutos para que inventen las suyas.