Problemas de balanzas: álgebra en Primaria sin letras

La balanza como primera ecuación

Una balanza en equilibrio dice una sola cosa: lo que hay a la izquierda pesa lo mismo que lo que hay a la derecha. Y permite una sola maniobra segura: hacer lo mismo en los dos platillos. Si quito una manzana de cada lado, sigue en equilibrio. Si añado 100 gramos a cada lado, también. Si parto los dos lados por la mitad, también.

Con esa única regla se resuelven todas las ecuaciones de primer grado que verán en Secundaria. La diferencia es que aquí la regla se ve: el niño sabe que si quita algo de un solo platillo, la balanza se inclina. Con letras, el mismo error (pasar un número al otro lado sin cambiarlo, quitar solo de un miembro) es invisible.

En el ejemplo de las manzanas, una vez que sabe que 2 manzanas pesan lo que el melón, basta un dato más. Si una manzana pesa 200 g, el melón pesa 400 g. Comprobación: 3 manzanas son 600 g, y el melón más una manzana, 400 + 200 = 600 g.

Qué son los problemas de balanzas

Son problemas en los que se muestran una o varias balanzas en equilibrio con objetos o pesos, y hay que averiguar cuánto pesa algo. Hay tres familias:

• Con números. En un platillo, 7 y una caja; en el otro, 10 y 4. ¿Cuánto pesa la caja? Es 7 + □ = 10 + 4, y la respuesta es 7.
• Con objetos que se repiten. Como las manzanas y el melón. Se resuelven quitando lo mismo de los dos lados hasta que queda algo comparable.
• Con dos balanzas. Una dice cómo se relacionan dos objetos y la otra da un peso. Hay que combinar la información de las dos.

El Real Decreto 157/2022 lo recoge en el sentido algebraico desde el primer ciclo: la igualdad como relación de equivalencia entre dos elementos y la obtención de datos desconocidos, representados por un símbolo, en cualquiera de los dos lados. En el tercer ciclo ese dato desconocido ya puede ser una letra. La balanza es el puente entre las dos cosas.

El problema de fondo: el signo igual

La mayoría de lo que un niño ha visto antes de 3.º tiene esta forma: 8 + 4 = 12. Una operación a la izquierda y el resultado a la derecha. Es fácil que acabe leyendo el signo igual como «da» o «el resultado es». Escribe en la pizarra 8 + 4 = □ + 5 y mira qué ponen. Quien escribe 12 está leyendo «8 + 4 da». Quien escribe 17 ha sumado todo lo que había. La respuesta es 7, porque los dos lados tienen que valer lo mismo.

La investigadora Marta Molina lo trata en Una propuesta de cambio curricular: integración del pensamiento algebraico en educación primaria (revista PNA, 2009). Entre las dificultades típicas del álgebra cita la interpretación limitada del signo igual, y presenta un experimento de enseñanza con alumnos de 3.º que muestra que a esa edad ya pueden trabajar la aritmética de forma algebraica: mirar una igualdad como un todo y buscar relaciones entre sus términos en lugar de calcular a ciegas.

Una de las sentencias que cita: 24 + 11 = 8 + 27, ¿verdadero o falso? Se puede calcular los dos lados (35 y 35). O se puede ver que 24 tiene 16 más que 8 y 27 tiene 16 más que 11, así que los dos lados se compensan. La balanza entrena justo esa segunda mirada.

Una progresión de 3.º a 6.º

1. Balanza con números. 7 + □ = 10 + 4. Primero con balanza real y bloques; luego dibujada; luego solo la igualdad.
2. Objetos iguales con un peso total. 3 cubos iguales pesan lo mismo que 12 g. Cada cubo, 4 g. Es una división, pero el alumno la vive como reparto.
3. Objetos que se cancelan. 3 manzanas = 1 melón + 1 manzana. Quitar una manzana de cada lado. Aquí aparece de verdad la regla de hacer lo mismo en los dos platillos.
4. Dos balanzas. En la primera, el melón pesa lo mismo que 2 manzanas. En la segunda, el melón y una manzana pesan 600 g. Como el melón son 2 manzanas, en la segunda balanza hay en realidad 3 manzanas: 200 g cada una, y el melón 400 g.
5. Paso a la letra, en 6.º. 2x + 3 = x + 10. Dibujada como balanza: dos cajas y 3 g contra una caja y 10 g. Quitar una caja de cada lado, quitar 3 g de cada lado: la caja pesa 7 g. Comprobación: 14 + 3 = 17 y 7 + 10 = 17.

Tres errores que conviene esperar

Contar objetos en lugar de pesos. «En este lado hay 3 cosas y en el otro 2, así que pesa más este». Si la balanza está en equilibrio, no. Ayuda mucho tener una balanza real en clase con objetos de pesos muy distintos, como una goma y un estuche.

Quitar de un solo lado. El alumno quita la manzana sobrante del platillo de la izquierda y deja el otro igual. Con la balanza dibujada, pídele que diga si sigue en equilibrio. Con la balanza real, lo verá.

Dar el resultado de una operación que no se pide. Ante 7 + □ = 10 + 4, responder 14. Es el mismo error que con el signo igual, y el mismo que en los problemas de matemáticas lógica: operar con los números que hay sin preguntarse qué se pide.

Para empezar mañana

Escribe en la pizarra, sin explicación, 8 + 4 = □ + 5, y pide la respuesta en pizarras individuales. Cuenta cuántos ponen 12, cuántos 17 y cuántos 7. Si la mayoría no pone 7, ya sabes por dónde empezar: una balanza de verdad, bloques y la regla de hacer lo mismo en los dos lados.

Para que el número desconocido en cualquier lugar se vuelva familiar, en ¿Qué número falta? hay sumas y restas con el hueco a la izquierda o a la derecha, y en las fichas del número que falta hasta 100 tienes la versión en papel. Si buscas cómo encajarlo en una rutina diaria, mira las actividades de cálculo mental: el verdadero o falso con igualdades como 24 + 11 = 8 + 27 cabe en dos minutos.