Divisiones de dos cifras: cómo adivinar la cifra del cociente
Cuando el divisor pasa a tener dos cifras, la rutina de la división no cambia, pero aparece un paso que antes era automático: saber cuántas veces cabe 23 en 184. Ninguna tabla lo dice. La solución es estimar con una cuenta más pequeña, probar y ajustar, y hay una forma de estimar que casi nunca obliga a ajustar más de una vez.
Qué cambia en las divisiones de dos cifras
En una división de una cifra, cada paso de «divido» se resuelve con una tabla: 27 : 4 es una pregunta de la tabla del 4. En las divisiones de dos cifras, como 184 : 23 o 875 : 25, el divisor no tiene tabla aprendida de memoria. Nadie sabe de corrido cuánto es 23 × 8.
El resto de la rutina sigue igual: bajo, divido, multiplico, resto. Si tu hijo todavía duda con ella, conviene asentarla antes con las divisiones de una cifra. Lo nuevo está todo en el paso de dividir, que pasa de ser un recuerdo a ser una estimación. Y estimar quiere decir equivocarse a veces y corregir, algo que a muchos niños les parece trampa porque hasta ahora las cuentas salían a la primera.
No es una sensación solo de tu hijo. Un estudio de la Universidad de Maribor que grabó a 27 alumnos de 6.º resolviendo una división con divisor de dos cifras (Lipovec, Arcet y Ferme) encontró que la mayoría probaba varios cocientes antes de dar con el bueno, y que solo 18 de los 27 llegaron al resultado correcto, aunque era un contenido que debían dominar desde el curso anterior. Equivocarse al estimar es parte del procedimiento, no una señal de que el niño no sirve para esto.
El truco: tapar la última cifra
Para 184 : 23 tapa con el dedo la última cifra del número que estás dividiendo y la última cifra del divisor. Te queda 18 : 2. Eso sí sale de una tabla: 9. El 9 es tu primera prueba.
- Pruebo con 9. 23 × 9 = 207. Es más que 184, así que el 9 es demasiado.
- Bajo a 8. 23 × 8 = 184. Justo.
- Resto. 184 − 184 = 0. Cociente 8, resto 0.
La cuenta 23 × 9 se hace aparte, en una esquina del cuaderno, o de cabeza en dos trozos: 20 × 9 = 180 y 3 × 9 = 27, en total 207. Es normal que esa multiplicación lateral ocupe más sitio que la propia división. Muchos profesores prefieren que se escriba, porque así se ve dónde se ha equivocado el niño si algo falla.
La regla general: en cada vuelta, del número que tienes delante tapa la última cifra; del divisor, también. Divide lo que queda con las tablas. Si sale 10 o más, empieza por 9, porque una cifra del cociente nunca puede pasar de 9.
Por qué este truco solo se equivoca por arriba
Esto es lo que pocas veces se cuenta y lo que más tranquiliza a un niño: si se tapan las dos últimas cifras así, la estimación o acierta o se pasa. Nunca se queda corta. Así que, cuando no acierta, ya sabe hacia dónde corregir: siempre hacia abajo, 9, 8, 7.
La razón se puede explicar sin fórmulas. Al tapar el 3 de 23, tratas el divisor como si fuera 20, que es más pequeño de lo que es. Y dividir entre un número más pequeño da un resultado más grande. Al tapar el 4 de 184 haces lo contrario, pero eso solo le quita menos de una decena, y no llega a compensar. Resultado: la prueba sale igual o un poco grande.
¿Cuánto se pasa? Depende de la segunda cifra del divisor. Si es pequeña (21, 32, 41), tapar casi no cambia nada y el truco suele acertar a la primera. Si es grande (19, 28, 39), el error se nota más:
| División | Tapando | Pruebas | Cifra buena |
|---|---|---|---|
| 168 : 21 | 16 : 2 = 8 | 21 × 8 = 168 | 8, a la primera |
| 184 : 23 | 18 : 2 = 9 | 207 (se pasa), 184 | 8, a la segunda |
| 184 : 29 | 18 : 2 = 9 | 261, 232, 203 (se pasan), 174 | 6, a la cuarta |
La última fila es la que desespera. Cuatro multiplicaciones para una sola cifra. Para esos casos hay una variante.
Cuando el divisor termina en 7, 8 o 9: redondear hacia arriba
Si el divisor está cerca de la decena siguiente, piensa en esa decena en lugar de tapar. 29 está mucho más cerca de 30 que de 20. Así, 184 : 29 se estima como 18 : 3 = 6. Y 29 × 6 = 174, que no se pasa de 184. Resto 184 − 174 = 10, menor que 29. A la primera.
Esta variante tiene un precio: ahora la estimación puede quedarse corta. Por eso, al redondear hacia arriba, hay que mirar el resto con más atención. Si al restar queda un número igual o mayor que el divisor, la cifra era pequeña y hay que subir una. Por ejemplo, en 174 : 28, pensando en 30 sale 17 : 3 = 5. 28 × 5 = 140, y 174 − 140 = 34. Pero 34 es mayor que 28: cabe otra vez. Se sube a 6: 28 × 6 = 168, resto 6. Tapando habría salido 17 : 2 = 8, y habría hecho falta bajar tres veces.
Así que cada truco tiene su terreno. Una forma sencilla de repartir el trabajo:
- Divisor terminado en 1, 2, 3 o 4: tapar. Si se pasa, bajar uno.
- Divisor terminado en 6, 7, 8 o 9: redondear a la decena de arriba. Si el resto no cabe, subir uno.
- Divisor terminado en 5: cualquiera de los dos; con 25, 35, 45 muchos niños prefieren pensar en monedas.
En 4.º basta con el primer truco. El segundo suele tener sentido en 5.º, cuando el niño ya ajusta sin agobiarse.
Fichas de divisiones de dos cifras
Divisiones de tres cifras entre dos, para imprimir con hoja de soluciones. Hay fichas con divisores del 11 al 19 y del 21 al 26 para empezar por lo más fácil.
Un ejemplo completo: 875 : 25
Con un cociente de dos cifras se ve cómo se encadenan las vueltas.
- ¿Cuántas cifras cojo? 8 no llega a 25. Cojo 87.
- Estimo. Tapando: 8 : 2 = 4. Pruebo 25 × 4 = 100. Se pasa de 87. Bajo a 3: 25 × 3 = 75. Resto 87 − 75 = 12, menor que 25. Primera cifra: 3.
- Bajo el 5. Tengo 125.
- Estimo. Tapando: 12 : 2 = 6. 25 × 6 = 150. Se pasa. Bajo a 5: 25 × 5 = 125. Resto 0. Segunda cifra: 5.
Cociente 35, resto 0. Prueba: 25 × 35 = 875.
Aquí el divisor es 25 y hay otra salida que muchos niños descubren solos: 25 son cuatro monedas de 25 céntimos en un euro. ¿Cuántas veces cabe 25 en 87? Tres monedas son 75 céntimos, cuatro ya son un euro. Usar lo que el niño ya sabe no es hacer trampa; es exactamente el «cálculo con flexibilidad y sentido» que pide el Real Decreto 157/2022 para las operaciones con números naturales.
Hacer la tabla del divisor antes de empezar
Hay niños a los que estimar les genera tanta ansiedad que se bloquean. Para ellos hay un recurso muy honrado: antes de la división, escribir la tabla del divisor sumando. Para 23:
23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207.
Cada número es el anterior más 23. Con esa lista al lado, la pregunta «¿cuántas veces cabe 23 en 184?» se convierte en buscar el número más grande que no se pasa. Es más lento, pero el niño no se equivoca al estimar, y además repasa la suma.
Investigadores de Hong Kong (Leung, Wong y Pang, MERGA 2006) describen la división tradicional como un proceso de «adivinar y comprobar» en busca del mayor producto que no supera al dividendo, y señalan que ese ensayo y error frustra a algunos niños. La tabla escrita elimina el adivinar. Cuando el niño ya tiene soltura, la tabla se puede ir abandonando: primero escribe solo hasta el 5 ×, luego solo la usa cuando duda, y al final desaparece.
Errores típicos y cómo detectarlos
- Poner 10 o más en una cifra del cociente. Pasa cuando la estimación da 12 o 18 y el niño lo escribe tal cual. Cada vuelta da una sola cifra; si la estimación pasa de 9, se empieza a probar desde 9.
- Un resto mayor que el divisor. Si queda 31 y el divisor es 25, la cifra del cociente era pequeña. Ocurre sobre todo al redondear hacia arriba.
- Olvidar un cero en el cociente. Cuando al bajar una cifra el número no llega al divisor, hay que escribir 0 y bajar otra. Es tan frecuente que tiene artículo propio: divisiones con cero al cociente.
- Una multiplicación lateral mal hecha. 23 × 8 = 164 en lugar de 184. El resto sale enorme y el niño no entiende por qué. Repasar la multiplicación lateral es lo primero cuando algo no cuadra.
Para todos ellos, la red de seguridad es la misma: la prueba de la división. Divisor por cociente más resto tiene que dar el dividendo, y el resto tiene que ser menor que el divisor.
Para mañana, propón a tu hijo tres divisiones: 168 : 21, 184 : 23 y 184 : 29. Que tape las cifras y cuente cuántas pruebas necesita en cada una. Cuando vea que la tercera necesita cuatro, enséñale el redondeo hacia arriba. Lo recordará mejor porque habrá sentido el problema antes de recibir la solución.
Preguntas frecuentes
¿En qué curso se hacen las divisiones de dos cifras?
Depende del colegio y de la editorial. Lo más habitual es que aparezcan a finales de 4.º o en 5.º, cuando las divisiones de una cifra ya salen con soltura. El Real Decreto 157/2022 no fija el número de cifras del divisor por curso.
¿Puede mi hijo usar la calculadora para las divisiones de dos cifras?
Para comprobar, sí. El Real Decreto 157/2022 menciona la calculadora en el tercer ciclo como una de las formas de resolver operaciones. Para aprender a estimar, no: la gracia del ejercicio es precisamente pensar cuántas veces cabe el divisor sin que nadie lo diga.
¿Por qué empezar con divisores del 11 al 19?
Porque al tapar la última cifra el divisor se convierte en 1, y dividir entre 1 no cuesta nada. El niño se concentra en probar y ajustar sin pelearse con las tablas. Después vienen los divisores del 21 al 26, y al final los que terminan en 7, 8 o 9.
¿Qué hago si en el colegio le enseñan otra forma de estimar?
Usa la del colegio. Hay maestros que redondean siempre el divisor, otros que tapan y otros que hacen la tabla del divisor al margen. Todas llevan al mismo cociente. Lo que confunde al niño es oír dos métodos a la vez en la misma semana; el tuyo puede esperar a que domine el suyo.