Proporcionalidad directa: la tabla antes que la regla de tres
La regla de tres resuelve en tres líneas casi cualquier problema de proporcionalidad directa, y por eso es tan tentador enseñarla pronto. El problema es que también resuelve, con la misma seguridad, problemas que no son proporcionales. La tabla de proporcionalidad, trabajada con la reducción a la unidad, enseña lo que la regla esconde: la constante. Y con la constante a la vista, el alumno ve cuándo no hay proporción.
Lo que pide el currículo (y lo que no)
El Real Decreto 157/2022 dedica en el tercer ciclo un apartado entero al razonamiento proporcional. Pide dos cosas. Primero, identificar situaciones proporcionales y no proporcionales «como comparación multiplicativa entre magnitudes». Segundo, resolver problemas de proporcionalidad, porcentajes y escalas mediante la igualdad entre razones, la reducción a la unidad o el uso de coeficientes de proporcionalidad.
La regla de tres no aparece. No está prohibida, y muchos centros la enseñan en 6.º, pero el texto pone el acento en otro sitio: en distinguir cuándo hay proporción y en métodos donde la relación entre las magnitudes se ve.
La proporcionalidad directa en una tabla
Un problema de partida: «3 cuadernos cuestan 4,50 €. ¿Cuánto cuestan 8?». En lugar de ir directo a la respuesta, se construye la tabla con la clase:
| Cuadernos | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Euros | 1,50 | 3 | 4,50 | 7,50 | 12 | 15 |
La columna del 1 es la clave: 4,50 : 3 = 1,50 € por cuaderno. Esa es la constante de proporcionalidad, y con ella cualquier casilla sale multiplicando. 8 × 1,50 = 12 €. Además, dividiendo cada precio entre su número de cuadernos sale siempre 1,50. Eso es lo que hace que la tabla sea de proporcionalidad directa, y es lo que los alumnos deben comprobar antes de seguir.
Cuatro maneras de rellenar la tabla
Lo interesante de la tabla es que admite varios caminos, y cada alumno puede usar el que mejor ve. Merece la pena ponerlos en común:
- Dobles y mitades. Si 3 cuadernos cuestan 4,50, 6 cuestan 9.
- Sumar columnas. 3 cuadernos y 5 cuadernos son 8 cuadernos, así que 4,50 + 7,50 = 12 €. En una tabla proporcional esto siempre vale, y sorprende a los alumnos que acaban de oír que «en proporcionalidad no se suma». Lo que no se puede es sumar la misma cantidad arriba y abajo.
- Reducción a la unidad. Se pasa por la columna del 1 y se multiplica.
- Coeficiente. Se multiplica la fila de arriba por la constante, 1,50, para obtener la de abajo.
Simón Mochón, en un artículo de la revista Educación Matemática sobre alternativas a la regla de tres, señala que la estrategia unitaria, dividir y luego multiplicar, es el equivalente conceptual de la regla de tres, que primero multiplica y después divide. Es decir: si la clase domina la reducción a la unidad, la regla de tres después es solo un atajo.
Diploma de Cálculo en tu clase
Cuenta gratis para docentes: crea tu clase con su contraseña, elige qué ve cada grupo y sigue el progreso en tablas y fracciones.
El problema que la regla de tres no detecta
«Un taxi cobra 4 € por un trayecto de 1 km. ¿Cuánto cobrará por 4 km?» Con la regla de tres sale 16 €. Pero si el taxi cobra 3 € al subir y 1 € por cada kilómetro, la tabla real es esta: 1 km, 4 €; 2 km, 5 €; 4 km, 7 €. Al dividir, 4 : 1 = 4, pero 5 : 2 = 2,5. No hay constante. No es proporcional, y la regla de tres da una respuesta falsa con total seguridad.
No es un caso raro de laboratorio. Rubén Campo y Salvador Llinares, de la Universidad de Alicante, recogen en un estudio con 162 alumnos de 4.º a 6.º que, cuando ya se ha introducido la razón y la proporción, los estudiantes que terminan Primaria suelen aplicar de forma errónea la igualdad de razones a problemas que son aditivos. Y en el mismo estudio, en los problemas sí proporcionales, más de dos tercios respondían sumando. Los dos errores conviven: hay que enseñar a mirar la relación antes de elegir el método.
La tabla lo hace casi sola. Pedir a los alumnos que, antes de resolver, completen dos o tres columnas y comprueben si el cociente se mantiene es la mejor vacuna contra la regla de tres aplicada a ciegas.
La gráfica, para quien vaya más rápido
Los alumnos que terminan antes pueden llevar las dos tablas, la de los cuadernos y la del taxi, a una cuadrícula: cuadernos o kilómetros en el eje horizontal, euros en el vertical. Los puntos de los cuadernos quedan en línea recta y, si se alarga la línea hacia atrás, pasa por el cero: cero cuadernos, cero euros. Los del taxi también forman una recta, pero corta el eje vertical en 3, el precio de subir al coche.
Esa diferencia, pasar o no por el cero, es otra forma de ver lo mismo que la constante. Si con cero de una magnitud no tienes cero de la otra, no hay proporcionalidad directa. No hace falta formalizarlo en 6.º; basta con que lo vean y lo cuenten con sus palabras, porque en Secundaria lo volverán a encontrar como función lineal.
Un último detalle para la puesta en común: pregunta qué significa en la vida real el punto donde la recta del taxi corta el eje. Casi siempre alguien responde que es lo que pagas aunque no te muevas, y ese alumno acaba de explicar por qué el problema no era proporcional.
Una secuencia para 6.º
- Sesión 1, mezclar situaciones. Diez enunciados cortos, unos proporcionales y otros no (edades, ofertas 3x2, el taxi, recetas, precios por kilo). Solo hay que clasificarlos y justificarlo con una o dos columnas.
- Sesión 2, la tabla. Rellenar tablas con los cuatro caminos y buscar la constante. Que cada pareja explique el camino que ha usado.
- Sesión 3, la unidad. Problemas de enunciado resueltos solo con reducción a la unidad, incluidos algunos con decimales.
- Sesión 4, porcentajes y escalas. Los mismos problemas con otra cara. Aquí encaja bien el artículo de porcentajes y regla de tres, que compara cuándo conviene cada método.
- Y después, si el centro la usa, la regla de tres, presentada como una forma abreviada de escribir dos columnas de la tabla.
Para las familias que pregunten cómo ayudar en casa, el artículo de proporcionalidad para niños plantea lo mismo con una receta de cocina, y les puede servir de puente.