Jerarquía de operaciones: cómo convencer a la clase

Por qué recitar la regla no convence

Para un niño de 10 años, leer de izquierda a derecha es lo natural. Así lee los cuentos, así ha hecho las sumas en cadena desde 1.º. Ante 6 + 4 × 2, sumar primero y multiplicar después no es un despiste: es aplicar la costumbre de toda su vida.

Por eso decirle que «la multiplicación va antes» no basta. Lo que necesita es ver que hay un problema real: que si cada uno calcula como le parece, la misma expresión da resultados distintos y nadie se entiende. La jerarquía no es una manía de los matemáticos, es un acuerdo para que una expresión escrita signifique lo mismo para todo el mundo.

El experimento de las dos calculadoras

Lleva a clase una calculadora sencilla, de las de cuatro operaciones, y una científica. Pide a un alumno que teclee en las dos, exactamente en este orden: 6 + 4 × 2 =.

La sencilla dará, normalmente, 20: va calculando a medida que se pulsan las teclas, así que hace 6 + 4 = 10 y luego 10 × 2. La científica dará 14: espera a tener la expresión completa y multiplica antes de sumar. Mismas teclas, mismo orden, dos resultados.

Yolanda Herrera García describe esta misma actividad en una propuesta didáctica para 5.º y 6.º sobre jerarquía y uso de la calculadora, recogida en el repositorio Funes de la Universidad de los Andes. Distingue entre la calculadora «elemental», que opera en el orden en que se teclea, de izquierda a derecha, y la «jerárquica», que sigue un orden de prioridades propio. Y da un consejo práctico: probar antes las calculadoras, porque no todas funcionan igual. Hazlo tú también el día anterior para no llevarte sorpresas.

La pregunta que sigue se plantea sola: ¿cuál de las dos tiene razón? Deja que la clase discuta. La respuesta, que ninguna «se equivoca» pero solo una sigue el acuerdo que usamos todos, es justo lo que querías enseñar.

Por qué el acuerdo dice 14

Después del experimento, la clase querrá saber por qué se eligió esa regla y no la otra. La explicación más convincente es un problema con dinero: compro un bocadillo de 6 € y 4 zumos de 2 € cada uno. ¿Cuánto pago?

Nadie duda: 6 € del bocadillo más 8 € de los zumos, 14 €. Y la expresión que describe esa compra es precisamente 6 + 4 × 2. La multiplicación agrupa algo que va junto (cuatro zumos de dos euros) y por eso se resuelve antes. Si la regla fuera de izquierda a derecha, cada vez que escribiéramos una compra así tendríamos que poner paréntesis.

También se puede ver con sumas: 4 × 2 es una forma abreviada de 2 + 2 + 2 + 2. Si se escribe entero, 6 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14, y ya no hay discusión posible.

Jerarquía de operaciones: los errores que más se repiten

Una vez aceptada la regla, los fallos cambian. Estos son los que más se ven en los cuadernos de 5.º y 6.º:

Multiplicar antes de dividir siempre. Si la regla se enseña como «primero multiplicaciones, luego divisiones», 24 : 4 × 2 acaba siendo 24 : 8 = 3. Pero multiplicación y división tienen el mismo rango, y entre ellas se va de izquierda a derecha: 24 : 4 = 6, y 6 × 2 = 12.

Sumar antes de restar. El mismo error con la otra pareja: en 10 − 3 + 2, sumar primero da 10 − 5 = 5. Lo correcto es 7 + 2 = 9.

Las cadenas de igualdades falsas. El alumno escribe «6 + 4 = 10 × 2 = 20». Cada paso parece razonable, pero la frase dice que 6 + 4 es igual a 20, que es falso. Aunque el resultado final fuera bueno, esta forma de escribir fomenta el cálculo de izquierda a derecha. Conviene pedir una línea por paso.

Olvidar el paréntesis al copiar. 18 − (4 + 2) = 12, pero si en el paso siguiente desaparece el paréntesis y queda 18 − 4 + 2, el resultado pasa a 16. Pide que, mientras quede algo dentro, el paréntesis se copie entero.

Las potencias, en 6.º. En 2 + 3² se suma primero y sale 25 en vez de 11. Lo tratamos en potencias para sexto de Primaria.

Tres actividades que funcionan

Poner paréntesis para cambiar el resultado. Escribe 6 + 4 × 2 en la pizarra y pregunta: ¿dónde pondríais un paréntesis para que la calculadora científica diera 20? Respuesta: (6 + 4) × 2. Así el alumnado ve que el paréntesis es la manera de saltarse el acuerdo cuando hace falta.

De la compra a la expresión. Da un tique sencillo (tres cuadernos de 2 €, un estuche de 5 €, y un descuento de 1 €) y pide que lo escriban como una sola expresión: 3 × 2 + 5 − 1 = 10. Luego, al revés: da una expresión y que inventen la compra.

Número objetivo. Con los números 2, 3 y 4, cada uno una vez, y las operaciones que quieran, ¿quién consigue 14? ¿Y 20? ¿Y 10? (2 + 3 × 4, (2 + 3) × 4, 2 × 3 + 4.) Funciona muy bien como juego de cinco minutos al principio de la sesión, y obliga a pensar en el orden sin que nadie recite nada.

Qué dice el currículo

El Real Decreto 157/2022 no usa la expresión «jerarquía de operaciones». Lo que sí incluye en el tercer ciclo es reconocer qué operaciones «simples o combinadas» sirven para resolver una situación, y resolver operaciones mentalmente, por escrito o con calculadora. El experimento de las dos calculadoras toca justamente esos dos puntos: las operaciones combinadas y el uso con sentido de la calculadora.

Para mañana: busca una calculadora sencilla en la sala de profesores, compruébala con 6 + 4 × 2 y guárdala en el cajón para la próxima sesión de operaciones combinadas. Cinco minutos de experimento ahorran muchas correcciones en rojo.